RESOLVENDO MATEMÁTICA DO ENEM 2018 – PARTE 4 | Lucas Felpi

Oi pessoal, bom dia, boa tarde e boa noite pra quem estiver assistindo, meu nome é Lucas Felpi e hoje a gente vai continuar com a resolução de matemática Essa daqui é a parte 4 na sequência de vídeos resolvendo o Enem 2018 de matemática, se você não assistiu as outras partes, clica aqui nesse card (espero que eu esteja apontado pro lado certo) e aí você vai conseguir ver as outras três partes que já foram feitas e logo vai sair parte 5 para finalizar

Hoje a gente vai resolver da questão 163 até a 171 do caderno rosa, se você tiver com outro caderno aí, aqui na descrição tem a correlação entre as questões e os cadernos de diferentes cores Então vamos lá para o vídeo: Na questão 163 só precisava fazer uma conta simples de porcentagem: ele dava que a taxa era de 280 mg/dl e teve um desconto de 25%, depois de um desconto de 20% Não podia somar essas porcentagens e fazer um desconto de "45%", você precisava calcular cada desconto separadamente porque eles são consecutivos Então o que eu faço, o que acho que é melhor pra vocês, é pensar ao contrário: não pensa no desconto de 25%, pensa que sobrou 75%, então calcula quanto é 75% de 280 e depois quanto 80% (desconto de 20%) de tudo isso, então o que eu fiz foi em forma de fração: 4/5 (que é 80%) vezes 3/4 (que é 75%) de 280, e aí vai dar 168, que encaixa na categoria "Alta", a alternativa D Na questão 164, dado que por exemplo ele gastou y reais com panfletos, você precisava descobrir quantas pessoas foram alcançadas com os panfletos, vamos ver esse caso

Nos panfletos, a cada 180 reais que você gasta são alcançadas 1000 pessoas, então você tem que dividir o valor y que foi gasto no total por 180 para ver quantos "pacotes" de 1000 pessoas foram alcançados e aí você multiplica esse y/180 por 1000 para descobrir quantas pessoas são alcançadas A mesma coisa com rádio: a cada 120 reais são alcançadas 1500 pessoas então você tem que dividir o valor x total do rádio por 120 para ver quantos "pacotes" de 1500 pessoas foram alcançados e multiplicar por 1500 para descobrir quantas pessoas foram alcançadas pelo rádio, e aí somar esses dois valores, o que no final vai acabar gerando a expressão 50x/4 + 50y/9, alternativa A A questão 165 só pedia o tipo de triângulo que é formado pelos remos desse barco e ele disse que o ângulo maior entre os remos é 170 graus E é claro que, se os dois remos têm o mesmo comprimento, os ângulos opostos a eles têm o mesmo valor, então os dois ângulos opostos aos remos são 5 graus Por isso é um triângulo isósceles, não escaleno, e ele é um triângulo obtusângulo (é que tem um ângulo pelo menos maior do que 90 graus), acutângulo quer dizer que não tem nenhum ângulo maior do que 90 graus

Assim, fica alternativa E A questão 166, por ser um pouco mais difícil, o que eu fiz foi separar 21 espacinhos para os 21 dias letivos que o menino anotou o horário que o ônibus passava E ele disse que a mediana é 6h22 então, separando todos os horários por ordem temporal, por ordem do menor pro maior, o do meio tem que ser 6h22, que é o valor 11 E aí o que eu fiz foi tentar encaixar os outros de antes das 6h22 Pensando que o 6h21 é a moda, é o que mais se repete, o 6h2 tem que aparecer pelo menos 2 vezes, se todos os outros horários não se repetirem (porque se outro horário se repetir, o 6h21 não é mais a moda, não é mais o que se repete mais vezes

Então 6h21 se repetindo duas vezes (o 10 e o 9 sendo 6h21), os outros têm que ser todos diferentes E foi isso que eu tentei fazer: eu encaixei lá 6h20, 6h19, 6h18, 6h17, 6h16 e 6h15, só que o menino nunca chegou antes das 6h15 no ponto, então o menor valor possível para ele ter anotado é 6h15 ,e aí o que aconteceu: sobrou 2 espacinhos, o dia 1 e o dia 2 não ficaram preenchidos, porque faltou horário, não tem como ser antes das 6h15 Então quer dizer que o 6h21 se repetiu 3 vezes e aí ele ocupou posição 10, 9 e 8 (**ERRATA**), e aí os outros horários (15, 16, 17, 18, 19 e 20), algum deles se repetiu mais uma vez, porque eu tô falando no máximo, na melhor das opções, sem colocar muito 6h21 E então tem 7 opções para ele chegar antes das 6h21, então quer dizer que a probabilidade de ele ter pego o ônibus antes de 6h21 é 7/21, alternativa D A questão 167 é de escala, ele deu a escala de 1 cm para 58 milhões cm e pediu a escala de um pedaço do mapa que é 7,6 cm, então você faz uma regra de 3: 1 no mapa para 58 milhões na vida real é igual a 7,6 no mapa pra x na vida real

Fazendo essa regra de três você vai descobrir o valor de 440800000 cm (tira 2 zeros para metro, tira 3 zeros pra quilômetro) vai ficar 4408 km, alternativa A Na questão 168 ele te deu que tem duas áreas com produtividades diferentes: uma com 120 hectares de produtividade menor e outro de 40 hectares com produtividade maior A área de 40 hectares têm produtividade igual a 2,5 vezes a de 120 hectares

Eu vou chamar a que tem a produtividade maior de 1, que é a de 40 hectares, e a de produtividade menor de 2, que é a que tem 120 hectares Então a produtividade dada por ele é produção/área, então você vai fazer a relação entre as produções agora, porque você já tem a relação das produtividades e as áreas Então pensar que a P1, a produção da área 1, que tem 40 hectares, sobre 40, é igual a 2,5 vezes a produção 2, da área 2, sobre os 120 hectares E aí você vai descobrir que a produção 1 é 5/6 da produção 2 Você já tenha relação das áreas (40 e 120), a relação das produtividades (uma é 2,5 vezes a outra) e a relação das produções (uma é 5/6 da outra), já tem todas as informações

E aí ele disse que ele quer aumentar 15% da produção total Pensa que a produção total é a P1 + P2, a P1 = 5/6 P2, então somando 5/6 P2 + P2 vai ficar 11 /6 P2, essa é a produção total E aí o fazendeiro ele quer aumentar a produção total dele em 15%, então a nova área que ele vai comprar vai ter que produzir 15% do que é a produção total A produção total é 11/6 P2, então calculando 15% disso, vai dar 11/40 P2, e então ele quer que a nova área que ele vai comprar tenha a mesma produtividade da área 2, que tinha 120 hectares Então você tem que comparar as produtividades: a área 2 tinha produtividade P2/120

A produção sobre a área E a nova área vai ter que ter a produção 11/40 P2 sobre x, porque você não sabe ainda qual é a área, você quer descobrir a área e então você chega ao resultado que x = 33, ele precisa de 33 hectares pra essa nova área para produzir 15% a mais, então vai ser alternativa B A questão 169 era de visão espacial, você precisava encontrar o bloco que ia encaixar ali e completar o cubo, então você precisava basicamente ver qual ou quais eram as peças que você precisava Você precisava de 4 bloquinhos ali na frente, depois 3 bloquinhos atrás, 2 banquinhos aqui embaixo e mais 2 bloquinhos para trás Então você precisava encontrar essa peça, era mais de ter uma visão espacial, e consegui encontrar alternativa A

Na questão 170, ele te deu 2 círculos concêntricos, que tem o mesmo centro, um com raio maior um com raio menor (eu chamei o raio um raio maior de R e o raio menor de r) E ele deu uma reta tangente ao círculo menor e que está dentro do círculo maior, que mede 16 metros, então quer dizer que metade dele vai valer 8 metros O que eu fiz foi um Pitágoras, porque se você pegar o raiozinho menor perpendicular à reta e o R que para no vértice B da reta, você forma um triângulo retângulo que tem 90 graus e você consegue fazer um Pitágoras E aí eu fiz que: R^2 = rˆ2 + 8ˆ2, ou seja, Rˆ2 – rˆ2 = 64, você guarda essa informação O que ele quer é a área do passeio: a área do passeio é a área do círculo maior menos a área do círculo menor, ou seja, pi Rˆ2 menos pi rˆ2

Colocando pi em evidência, fica pi vezes Rˆ2 menos rˆ2, e isso significa que você consegue substituir essa expressão (Rˆ2 – rˆ2) por 64, porque você já descobriu naquela informação Ou seja, fica 64 pi, alternativa D Na questão 171, o que você precisava ver a relação entre a zona de combate e o tabuleiro no total para cada um dos quadrados Então no quadrado 8×8, que você tem 64 espaços no total, o segundo jogador ia ter 63 opções para colocar a peça dele, porque já teve uma ocupada pelo primeiro jogador, e então segundo o jogador ia ter 63 espacinhos para colocar a peça, e 14 deles eram a zona de combate Então a probabilidade dele colocar a peça dele na zona de combate era 14/63, que é 2/9, e isso é maior do que 1/5, então não vale, não pode ser por 8×8

No 9×9, ele vai ter 80 opções para colocar o quadradinho dele (era 81 no total, tirou 1) e a zona de combate vai ter 16 espaços (porque pensa que aumentou um de cada lado do 8×8, então ficou, em vez de 14, 16 espaços na zona de combate) e esse valor 16/80 é exatamente 1/5 Como ele quer que a probabilidade seja menor do que 1/5, é óbvio que não vai poder ser 9×9 e é óbvio que vai ser o 10×10 no mínimo, então quer dizer que você nem precisa fazer a conta do 10×10 porque no 10×10 a propriedade vai ser menor do que 1/5 e é isso que ele quer, então a alternativa D Foi esse gente o vídeo do parte 4, resolvi mais 9 exercícios, e daqui a pouco vai vir parte 5 para finalizar com os últimos 9 e ter toda a playlist do Enem 2018 de matemática resolvido É isso, eu espero que tenham gostado, muito obrigado por assistir e até a próxima!

Cabo Verde X Portugal, Língua Crioula Parte 1

olá pessoal e amigos mas um vídeos aqui no canal cabo verde nunca esteve tão perto de portugal porquê porquê? porquê hoje vais aprender as expressões caboverdianas tipo e então vem comigo e vem aprender as expressões eu tu ele/ ela nós vocês eles/elas eu estou aqui tu estás ali eu gosto de ti eu amo-te eu beijo-te nós queremos eu apanhei-o tu que és a minha dor o meu doce amor acabou o video ? click neste, click neste da gosto, subscreve

RESOLVENDO MATEMÁTICA DO ENEM 2018 – PARTE 3 | Lucas Felpi

Oi pessoal, bom dia, boa tarde e boa noite pra quem estiver assistindo, meu nome é Lucas Felpi e se você não me conhece, esse daqui é o meu canal Hoje a gente vai fazer a parte 3 de matemática, resolvendo os próximos 9 exercícios do Enem 2018

Se você não viu as outras duas partes dessa série de vídeos que eu tô fazendo, clique aqui nesse card Hoje a gente vai fazer as questões 154 até 162 do caderno rosa, lembrando que como sempre vou deixar aqui na descrição a correlação entre as questões do caderno rosa com os outros cadernos pra você poder acompanhar Vamos pro vídeo! A questão 154 era uma questão de funções trigonométricas, você precisava ver o gráfico e saber qual é a lei da função De cara eu olhei pro gráfico e falei "É uma função seno, porque ele parte do ponto médio, vai pro ponto máximo, volta pro ponto mínimo, e vai assim, é uma senoide, inclusive tem o período igual ao da função seno normal, é 2pi Mas o que acontece: em vez de estar 0, 1 e -1, está 88, 168 e, ali em baixo, seria 8, uma variação de 80

Então, primeiro de tudo, o que é mais fácil pra mim, eu sei que quando a função está deslocada, tem um número somando (ou subtraído) Se antes a função seno começava no zero, agora tá começando 88, então quer dizer que ela subiu 88 Esse deslocamento pra cima de 88 é somar 88 na lei da função, então eu sabia que tinha que ter "+ 88" E o número que multiplica o seno é o número que vai esticar a função, então como a função está esticada (em vez de ter uma variação de 1 e -1,está com uma variação de + 80 – 80), então tem o número 80 multiplicando o seno Isso é o que você tem que saber: na lei da função trigonométrica, o número que multiplica o seno ou cosseno é o que estica ou comprime a sua função, e o número que soma ou subtrai é o que desloca no espaço

Então essa função foi deslocada 88 pra cima e foi esticada 80 nas duas direções, têm que ser alternativa A Nessa questão, ele pedia o gráfico que descrevia a distância do ponto M até o ponto O, enquanto você puxava essa viga Eu já percebi que o estágio 1 e o estágio 3 tinham a mesma distância No estágio 1 e no estágio 3, a distância entre M e O é a largura da viga sobre 2, que eu chamei de L/2 Só que e durante esse meio-tempo? Porque enquanto ele faz a trajetória de 90 graus, o que acontece com a distância: continua igual, aumenta, diminui

? Eu peguei no estágio 2, que é o estágio intermediário, em que tem 45 graus (pensa que, se a trajetória toda tem 90, a metade que é o estágio 2, vai ter 45 graus) e tentei fazer um Pitágoras, para descobrir qual é o valor dessa distância Eu montei esse triângulo que está aparecendo aqui do lado pra vocês, em que a liga tem comprimento L e os catetos triângulo tem que ter L raíz de 2 sobre 2, (porque lembra que seno e cosseno de 45 é a raiz de 2 sobre 2), e aí eu tentei calcular a altura desse triângulo que, invertendo, seria a distância entre o M e o O Fazendo por Pitágoras, a altura também deu L/2, ou seja, essa distância entre M e O permaneceu constante durante todo o tempo, então é alternativa A, um gráfico constante

A questão 156 foi uma das questões que eu errei, porque é uma questão que tem um raciocínio grande, e eu devo ter me perdido no meio, na hora que eu fazia, eu devo ter errado algum detalhe, mas vou aqui explicar pra vocês como eu teria feito Uma coisa que eu deixei de fazer e me arrependo, e que eu dou essa dica agora, é organizar os dados de uma forma simbólica e representativa Dessa vez, estou colocando a minha resolução aqui, eu desenhei cada urna e coloquei quantas bolas pretas tinham e quantas bolas no total tinham em cada uma delas, isso torna muito mais fácil o seu raciocínio na hora, pra não precisar ficar voltando sempre naquelas informações E aí eu fiz a probabilidade de cada opção: vou explicar como funciona A opção 1 é você tirar duas bolas aleatoriamente da urna A

A urna A tem 2 bolas pretas e 6 bolas no total, então a probabilidade de tirar 1 bola preta é 2/6 e depois, você já tirou uma bola preta, agora vai sobrar 1 bola em 5 no total, então a probabilidade vai ser 1/5 Você tem que sempre diminuir 1 quando você já tirou, lembra disso E aí a probabilidade fica 1/15 A opção 2 é bem parecida: tirar 2 bolas aleatórias da urna B A urna B tem 3 bolas tretas no total de 10, então a probabilidade de tirar 1 bola preta no começo é 3/10, e depois que você já tirou 1 bola preta, vai ter a probabilidade de 2/9

Multiplica, gente! Lembra que é para multiplicar porque uma coisa depende da outra, você tem que tirar 1 bola preta no começo (3/10), e depois tirar 1 bola preta de novo (2/9) então multiplica quando é "e", quando depende, quando estão juntos os eventos Só que agora vai chegar a parte que tem também o "ou", que vai ter que somar A opção 3 é você passar 1 bola da urna C pra a urna A, e depois tirar 2 da urna A Agora, quando você passa uma bola da urna C pra urna A, você não sabe se é preta ou não, você vai ter que fazer as duas opções, você vai ter que ramificar o seu raciocínio nas duas opções e aí somar essas probabilidades, porque é uma coisa ou outra A probabilidade de você pegar uma bola preta na urna C pra passar pra urna A é 2/4 (são 2 bolas pretas em 4 no total) e aí você vai fazer esses 2 caminhos baseado nisso

Um caminho se você pegou uma bola preta nessas 2 de 4, outro se você não pegou bola preta nessas 2 de 4 Em um desses caminhos, se você tivesse pego uma bola preta sim, seria 2/4 vezes 3/7 (porque agora vão ter 3 bolas pretas na urna A sobre 7 bolas no total) e depois vezes 2/6 (porque você já tirou uma bola preta vai sobrar 2 bolas pretas e 6 no total) Se você não pega uma bola preta na urna C e passou pra urna A qualquer outra bola, vai ter a probabilidade então de 2/4 vezes 2/7 (porque aumentou 1 no total mas não aumentou 1 preta) vezes 1/6 E aí você vai somar essas duas probabilidades, porque são dois caminhos diferentes, é uma ou outra, soma, e aí você vai ter o resultado Fazendo isso para as outras opções também, a 4 a 5, vai dar que a 5 é a maior probabilidade, alternativa E

A questão 157 parece muito difícil mas era muito mais fácil do que parecia, de verdade, porque até se você ver o meu raciocínio, estava gigante, eu fiz várias contas, eu tentei calcular qual era a área não pintada e pintada, mas não precisava Tudo o que ele queria era uma relação de proporção bem simples Ele queria que a área pintada fosse diminuída em 16 vezes, então quer dizer que é uma proporção de 1/16 em área A área é em 2 dimensões, então quer dizer que essa constante de proporcionalidade que a gente descobriu aqui (1/16) é a constante ao quadrado, é o k ao quadrado E aí pra você fazer a proporção linear, em 1 dimensão, que é o que ele quer, ele quer a proporção do tamanho da fonte, você tem que tirar a raiz do k ao quadrado, para descobrir só o k

Então se o k ao quadrado era 1/16, o k vai ser 1/4 Então se ele quer diminuir a área pintada em 16 vezes, vai ter que diminuir o tamanho da fonte em 4 vezes, essa é a relação que você tinha que fazer, então 192 dividido por 4, dá 48, alternativa B Na questão 158 ele quer descobrir qual é a lei que daria esse espaço pontilhado que ele quer usar Você só tem que descobrir qual a relação entre x e y e os números que estão ali A primeira coisa que eu já percebi, eu anotei ali do lado, é que x e y são todos menores ou iguais a 10

O x não passa de 10, nem o y passa de 10, mas não é todo esse quadrado que está pontilhado, tem uma parte que não está pontilhada, você tem que descobrir qual a relação entre o x e o y para poder achar a alternativa certa E aí quando você analisa, você percebe que sempre o x é maior ou igual a y, não tem nenhum ponto que seja o y maior do que x Essa parte pontilhada está toda preenchida para baixo, quer dizer que os valores de x estão sempre maiores do que os valores de y Tenta analisar qualquer ponto ali você vai perceber isso, e aí dá alternativa B A questão 159 era de log, você tinha que saber extrair as informações do texto para poder resolver e montar uma equação

Ele dizia que em 1986 foi feito um processador que tinha 100 mil transistores em 0,25 centímetros quadrados e ele disse que a densidade dobrava a cada dois anos O primeiro que você tem que saber é qual a densidade inicial, lá de 1986: se cabia 100 mil transistores em 0,25 centímetros quadrados, cabe 400 mil em 1 centímetro quadrado, e isso vai dobrar a cada dois anos Em vez de fazer passo a passo a cada dois anos, que vai demorar muito, você faz uma relação exponencial: eu fiz uma fórmula, em que eu chamei V o valor de transistores no futuro, coloquei igual ao valor inicial, que seria 4 vezes 10ˆ5 vezes 2 (porque vai dobrar) elevado a t/2 Por que t/2? Porque se você pegar por exemplo 10 anos no futuro (t = 10) não vai dobrar 10 vezes, vai dobrar 5 vezes esse valor, então tem que sempre dividir o número de anos, o tempo, para conseguir dobrar a cada dois anos Substituindo valor de V como 10^11 que é o que ele quer, 100 (ERRO) bilhões de transistores, e resolvendo a equação, você consegue chegar que (2^4 + 3)/2 é igual a 10^6

E aí você chega nesse impasse, só que ele deu o log de 2 na base 10, então é melhor você colocar dos dois lados log na base 10 E aí você consegue, com as propriedades de log, resolver essa equação, substituir log de 2 na base 10 por 0,3, e descobrir que o tempo tem que ser 36 anos Vai dar 2022 alternativa C Nessa questão eu chamei de N o número de parcelas iniciais que ele deu ali no começo e x o valor da parcela inicial também, então o valor desse produto vai ser Nx

Mas ele deu duas outras informações além disso, para você construir como se fosse um sistema Ele disse que se você acrescentar 5 parcelas, ou seja, N + 5 você consegue diminuir 200 reais no valor de cada parcela originalmente O valor do produto não muda né? Então N vezes x tem que ser igual a (N + 5), aumentar cinco parcelas, vezes (x – 200), a parcela diminuída em 200 reais Ou seja, esse valor é igual Resolvendo a equação você chega que x é igual a 40N + 200, e aí você usa a outra informação que ele deu, que é que se você diminuir 4 parcelas, cada parcela vai aumentar 232 reais

E aí quer dizer que o valor do produto (Nx) é é igual a (N – 4) vezes (x + 232), e resolvendo você vai descobrir que o valor de N que é 24, alternativa B Nessa questão ele queria que o atleta 10 ficasse em primeiro lugar e ele precisava saber qual é o salto que ia dar a maior probabilidade disso acontecer A primeira coisa que eu fiz foi calcular a diferença de pontuação entre o atleta 10, e o do primeiro lugar que está ali embaixo na resolução da questão: eu fiz 829 – 637,5, que dava 141,5, ou seja, esse cara precisa de 141,5 pontos para conseguir passar o primeiro lugar e ficar em primeiro Essa é a coisa mais básica e você tem que descobrir qual salto vai poder providenciar isso com a maior probabilidade

A pontuação que o atleta ganha num salto é sempre a soma das notas dos juízes vezes a nota da partida (que é quão difícil é aquele salto) E foi isso que eu fiz em cada linha dessa tabela, eu multipliquei a nota da partida com a estimativa da soma das notas e coloquei ali do lado, e eu já descartei que não podia ser nem o salto T1, nem o salto T2, nem o salto T4, porque eles davam menos do que 141 pontos Ficava entre T3 e T5, que dava davam 143 pontos e 159 pontos, mas aí como critério de desempate você não tem que ver quantos pontos a mais do 141 ele vai alcançar com cada salto, não importa, desde que passou do primeiro lugar já está valendo O que importa é o que está ali do lado da tabela, próxima informação, a probabilidade de obter essa nota e o T3 têm a maior probabilidade que é 91,88%, então alternativa C A última questão você só precisava saber a fórmula de velocidade média e relacionar com física basicamente, foi o que eu fiz

Ele disse que três equipes fazem 3 trajetórias diferentes, três distâncias diferentes, mas ele dá lá em cada uma delas a velocidade média percorrida e o tempo que demorou, então você só precisava substituir em cada equipe na fórmula de velocidade média o tempo e essa velocidade pra descobrir as distâncias Na equipe Alpha, eu descobri que a distância era 9 quilômetros, na equipe Beta descobri que era 7,5 quilômetros e na equipe Gama 6,5 quilômetros Lembrando que, detalhe, se você vai trabalhar com km/h você precisa converter os valores que estão em minutos no enunciado para horas: então 90 minutos é 1,5 hora, 60 minutos é 1 hora Dá alternativa A, que a distância de Gama é a menor, a distância de Beta é a intermediária e a distância de Alpha é a maior Bom, então foi essa a parte 3, espero que tenham gostado, se gostou desse tipo de resolução, gostou desse vídeo, deixa o seu like, se você não gostou, deixa o deslize, sejam sinceros

Desculpa pela demora para lançar esse vídeo, mas agora vou gravar logo as outras duas partes e lançar de uma vez pra vocês terem a resolução completa Se você não me segue lá no Instagram, segue lá, que é @lfelpi, vou deixar aqui para vocês, porque essa semana vai ter surpresa especial com como usar a Black Mirror na redação integrando aqui o YouTube e o Instagram e então vai ser bem legal, espero que vocês curtam bastante, estou preparando uma coisa bem grande, e é isso, muito obrigado por ter assistido, e até a próxima!

Radicali (1ª Parte). Esercizi Svolti di Matematica per le Superiori.

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Bem, vamos lembrar de alguma teoria que é fundamental para enfrentar exercícios e problemas Nesta lição, que é o primeiro parte dos radicais, vamos ver vários exemplos de como trabalhamos precisamente com os radicais e vamos aplicar regras e propriedades Aqui, terceira raiz de 5 ao sétimo é um exemplo de radical Agora, o que está sob o teto, 5 no sétimo, chama-se radicando, praticamente o argumento raiz Este numeretto é chamado de índice de raiz ou índice de raiz, que é um número natural diferente de zero e este é o expoente da radicando

vemos de exemplos numéricos: raiz cúbica de 27 faz três porque 3 elevado a três é 27 e 3 multiplicaram-se três vezes dando o enraizamento Raiz quadrada de 81 é 9 porque 9 al quadrado, que é 9 multiplicado por si mesmo, duas vezes dá 81, a radicando Quinta raiz de 1 atrás 1 porque 1 a 5, que é 1 multiplicado por si mesmo cinco vezes (um por um para 1 5 vezes) dá 1, a radicando Raiz cúbica de -27 faz -3 porque -3 em cubos, depois -3 para -3 a -3, há apenas o radicando, -27 Vamos em frente! Raiz quadrada de -25 não existe porque não há número real multiplicado por si duas vezes me dá -25 Qualquer um número real multiplicado por si mesmo duas vezes sempre dá um número positivo Isso é negativo! Também quarta raiz de -16 não existe pela mesma razão que dissemos aqui, isto é, não existe tal coisa número real que se multiplicou por si mesmo quatro vezes me dá -16

Como se multiplica por si mesmo um número igual de vezes, deve vir necessariamente positivo, mas aqui é negativo Além disso, raiz quinto de -32 faz -2 porque -2 elevado a 5, que é um expoente ímpar, obriga -2 para multiplicar por si cinco vezes, depois -2 por -2 por -2 , 5 vezes, faz -32

Aqui, podemos dizer que a enésima raiz de a não existe se este índice for par e o argumento a for negativo Agora vamos ver esses exemplos numéricos interessantes porque aqui temos raiz cúbico de 27 cubos A raiz cúbica de 27 é três porque 3 é cúbico, 3 em cubos, são 27, mas temos que aumentar essa raiz para 3 Então, 3 a 3 ele faz apenas 27 Aqui, o mesmo: raiz quadrada de 81, tudo ao quadrado

raiz o quadrado de 81 é 9, aqui está Devemos elevar para dois, faz 81 e volta para o enraizamento Aqui, o mesmo: raiz quinto de -32 todos a 5 Raiz quinto de -32 é -2 Se aumentarmos para 5, é -32 e aqui está o enraizamento

Em vez disso, alguém aqui poderia dizer: "ok, raiz quadrada de -9 tudo quadrado é -9 " Oh não! É um erro, porque é a raiz quadrada de -9 não lá! Não existe um número real que seja quadrado dá -9 Então, se não há nenhum número real para colocar aqui, não nós podemos fazer esse poder Vamos para o chamado propriedade invariável dos radicais Antes de continuar, lembro que você pode visitar o nosso blog, o site e nossa página no facebook

Como de costume, encontre os links na descrição abaixo aqui vemos outro exemplo, ou melhor, dois outros exemplos numéricos: aqui temos a quinta raiz de sete ao quadrado nós multiplicamos o índice de raiz 5 e o expoente do radial 2 para o mesmo número 3 diferente de zero e temos um radical equivalente a isso Este valor é idêntico a esse valor Aqui também temos a raiz quadrada de dois para três que multiplicamos este índice de raiz e este expoente da raiz 2 e 3 para o mesmo número 4 diferente de zero e temos raiz de oitava de dois a 12, que é igual a primeiro radical do segundo exemplo aqui fazemos as contas e vem raiz décimo quinto de sete a seis, que é o mesmo que este aqui, mas sim também pode dividir pelo mesmo número com este exemplo, temos a décima quinta raiz de 4 a 6 e temos índice de raiz dividida 15 e expoente da raiz 6 para o mesmo número que é um divisor comum 3 diferente de zero e obtemos um radical equivalente a isso Então, a quinta raiz de 4 para 2 apenas chegar a termos aqui é igual à raiz décimo quinto de 4 a 6

Graças a esta propriedade, pode, portanto, ser simplificado nós simplificamos esse radical e, assim, um radical mais radicais podem ser reduzidos, por exemplo, este primeiro radical e este de acordo com um único índice de raiz que você vê aqui são vários os índices de root Como você reduz esses dois radicais a um único índice de raiz? um índice de raiz comum Nós calculamos o mínimo múltiplo comum de 4 e 3, que é 12, então aplicando a propriedade invariante a cada radical, vista primeiro, o que fazemos? nós multiplicamos este índice e este expoente de torcendo por três para então ter raiz décimo segundo do que de três para 15 O segundo radical nós fazemos o multiplicando por três o índice de raiz por quatro e também o expoente deste enraizamento que é um devemos multiplicá-lo por quatro então temos a décima segunda raiz aqui é de quatro elevado a um por quatro alta um 4 aqui nós reduzimos esses dois radicais para um único índice de raiz o índice de raiz comum é o múltiplo menos comum dos índices de raiz Agora vamos nos perguntar como a multiplicação e a divisão são feitas Radical? aqui, aqui temos exemplos de multiplicação temos raiz cúbica de sete por raiz cúbica de dois que faz raiz cúbica de 7×2 14 raiz quarto de oito para a quarta raiz de três é igual à quarta raiz de 8×3 24 raiz quadrada de dois para raiz quadrada de três é igual a raiz quadrada de dois a três qual será então a regra? o produto entre dois radicais que têm o mesmo índice n é um radical que tem um índice ou similar enraizando o produto do radicandi E se tivermos que multiplicar dois radicais com índices diferentes, por exemplo, suponha que queremos multiplicar raiz cúbica por dois para raiz quinta de quatro Bem, ambos os radicais são reduzidos a um índice e será precisamente o mínimo múltiplo comum de 3 e 5 o mínimo múltiplo comum de 3 e 5 é 15 então temos que multiplicar 3×5 então vamos multiplicar pela propriedade invariante visto antes por cinco nós também vamos multiplicar o expoente deste radicand que é um, em seguida, um para cinco e este índice aqui multiplicamos por 3, temos que multiplicar para três também o expoente de quatro, que é 1, 1 para 3 então nós achamos que esta é a décima quinta raiz de dois aumentada para 5 que multiplica raiz décimo quinto de quatro elevado a 3 aqui temos finalmente dois radicais com o mesmo índice têm um produto, então os dois radicais se fundem em um único radical com o mesmo índice e como um argumento temos o produto dos argumentos, portanto, dois para o quinto para 4 a 3, em seguida, a décima quinta raiz de dois para o quinto 4 escrevemos como 2 para os dois, mas quatro é aumentado para três, em seguida, dois para os dois para o 3, aplicamos um pouco de propriedade nos poderes este é 2 aumentado para 2×3, em seguida, dois subiu para 6 aqui é que multiplica 2 para o quinto este é o produto de dois poderes com o mesma base e reescrever a base e adicionar como um expoente colocamos o soma dos expoentes 5 mais seis, então temos a décima quinta raiz de dois a 11 outro exemplo de multiplicação entre ter radicais este é o múltiplo menos comum dos três índices é 30 então vamos escrever desta maneira porque temos que multiplicar 6 por cinco para ter precisamente o mínimo múltiplo comum como um índice comum de raiz, devemos multiplicar por cinco o expoente do radicand então este 5 nós temos que multiplicar por 6 para ter 30 e depois por 6 vamos também multiplicar este expoente aqui vamos multiplicar isso para ter 30 para 10 e multiplicamos por dez o expoente de quatro, que é um portanto, fazemos as contas e temos a trigésima raiz de dois a 25 para trigésima raiz de três a 12 por trigésimo raiz de quatro a 10 aqui temos o produto de três radicais tendo o mesmo índice de raiz todos os três se fundem em uma única raiz com um índice de raiz igual a 30 e como fazer root o produto de radicandi e aqui podemos parar de dizer podemos parar aqui porque meu objetivo era mostrar-lhe como multiplicar três radicais com diferentes índices de raízes vemos agora alguns exemplo de divisão temos raiz quinta de 15 raiz dividida quinta de três, que é igual à quinta raiz de 15 dividido por três, então temos a terceira raiz de dois dividido terceira raiz de sete que é igual a terceira raiz de dois fratto 7 de dois dividido sete qual será a regra? o quociente entre dois radicais que tem o mesmo índice n é um radical que tem um índice ou similar enraizando o quociente do radicandi e se temos que dividir dois radicais com índices diferentes? por exemplo, suponha que nós queremos dividir a raiz cúbica de quatro pela raiz de dois nós fazemos esta divisão bem como fizemos para multiplicação ambos os radicais são reduzidos a um único índice qual será o múltiplo menos comum de 3 e 5 o seu múltiplo menos comum é 15, então temos que multiplicar este 3 por 5 aqui e também um o expoente de quatro deve multiplicá-lo por cinco assim ter aqui 15 se também queremos que o segundo radical tenha quinze nós temos que multiplicar como o índice de raiz tem quinze devemos multiplique este 5×3 e, portanto, também este expoente 1, temos que multiplicá-lo por três, então temos a décima quinta raiz de 4 a 5 dividida raiz décimo quinto de dois para três a divisão o quociente que temos dito de dois radicais com o mesmo índice é um radical com esse índice e como enraizando o quociente do radicandi quatro para o quinto dividido dois para o 3 e aqui fazemos contas aplicando as propriedades conhecidas em poderes agora chegou a hora de ver como transmitir um fator de enraizamento do sinal da raiz vamos dar um exemplo, temos quinta raiz de dois para três neste caso desde 3 o expoente da raiz é mais pouco do índice de raiz 5 você não pode trazer nada para fora você não pode trazer algum fator de dentro para fora precisamente porque o expoente da raiz é menor que o índice da raiz outro radical que levamos em consideração é a quinta raiz de dois para o 12 neste caso desde 12 o expoente do radicand é maior do índice de raiz 5 você pode trazer algo fora do sinal de raiz como? a divisão é feita entre o expoente do radicand 12 e o índice de raiz 5 nós fazemos 12 dividido por 5 atrás 2 com o resto de dois aqui está um erro eu tenho que colocar 12 em vez de 7 então apagamos e escrevemos para que o dividendo 12 seja igual ao quociente 2 para o divisor 5 mais o resto, neste ponto, se substituímos, então temos no lugar de 12 nós colocamos 2×5 mais 2, em seguida, aplicando uma das propriedades sobre os poderes então nós podemos escrever esse enraizamento ao invés desse caminho como um produto de duas potências com a mesma base 2 esta primeira potência tem expoente 2×5 e este segundo poder tem como expoente 2 desde que há uma adição aqui deve haver um produto entre os dois poderes este radical pode ser dissolvido no produto de dois radicais para que possa ser ver como a quinta raiz deste primeiro fator multiplicado pela quinta raiz do segundo fator, então este 5 e este 5 ir embora e permanece 2 ao quadrado, então al lugar deste radical permanece 2 por quadrado multiplicado por isso reescrevemos aqui quinta raiz de dois para dois porque nós a reescrevemos? por que dois isso expoente aqui é menor do que o índice de raiz, então temos dois por raiz quadrada quinto de dois para dois fomos capazes de trazer para fora do sinal da raiz um fator do enraizamento que é, portanto, a regra? aqui é se o expoente do radicand m é maior que ou igual ao índice de raiz, em seguida, esta raiz radical nth de a para m é igual a um alla q multiplicado pela raiz nth de a para r em que q é o quociente da divisão m dividido por n e r é o resto desta divisão, então vamos pegar o exemplo acima depois de ter enunciado a regra, desta forma, temos raiz quinta de dois para o 12 o expoente do radicand é maior o igual ao índice de raiz, então eu tenho que fazer a divisão 12 dividido por 5 o quociente vem 2 e o resto também é 2, de acordo com a regra que devemos escreva dois, que é a base da radicando 2 levantada para o quociente quociente é dois o quociente da divisão multiplicada por raiz quinto de dois elevado para o resto da divisão, vemos agora o poder de um radical aqui temos outro exemplo, temos a nona raiz de cinco ao quadrado tudo para o quarto é igual a estender nono de cinco ao quarto 4 agora, em vez de ser aplicado a todo o radical que passou sob para por assim dizer sob o telhado por isso temos a nona raiz de cinco elevado a dois por quatro, em seguida, a nona raiz de 5 a 8 com a regra é que o expoente p referiu-se ao radical passa sob o teto e depois daqui passar sob o telhado e, em seguida, escrever em alta amxp em vez disso, vemos o raiz de uma raiz temos raiz quarta raiz cúbica de sete quadrados multiplicam os índices

de sete ao quadrado então dividimos este índice e esse expoente da raiz por si número diferente de zero para um divisor comum dividir por dois isso é divisível 4×3 é divisível por dois 2 evidentemente sim, por isso simplificar 4 dividindo 4 por 2 permanece 2 dividindo 2 por 2 permanece um e, portanto, temos como índice 2×3 e como um expoente de sete temos, portanto, uma sexta raiz de 7 aqui está a regra: a raiz que resulta da enésima raiz da raiz do emmesima isto é n isto é m então a raiz é a enésima raiz de raiz de emmesima de um p é o mesmo que? na raiz nxm e um em p, em seguida, il raiz que resulta desta enésima raiz de raiz de emmesima tem um índice de raiz que é o produto entre os índices, vamos ver agora como trazer um fator para o sinal de raiz, vemos um exemplo, temos três multiplicando raiz quarta por cinco, se quisermos levar três dentro do quão radical podemos escrever isso? como esse radical tem índice 4 este 3 podemos escrevê-lo como uma quarta raiz de três para quatro porque precisamente este radical simplificaria 4 com 4 para que possamos para escrever 3 equivalentemente podemos escrevê-lo como a quarta raiz de três para o quarto multiplicado por reescrever este radical e ter dois radicais com índice de raiz igual a 4 nós escrevemos este produto como uma única raiz quarta raiz de devemos colocar como enraizamento o produto destes dois Radicandi, em seguida, 3 a quarta multiplicado por 5 aqui é se temos um para enésima raiz de b para para obter o fator aqui é necessário aumentar para ad n, em seguida, para o fim temos a enésima raiz de um em n para b agora vamos ver como fazer as adições e as subtrações radicais que temos neste primeiro exemplo, temos três radicais semelhantes, porque temos raízes em todos os três radicais cúbico de dois raiz cúbica de dois e raiz cúbica de dois recolhe raiz cúbico de dois e como o coeficiente de raiz cúbica de dois, colocamos o soma algébrica dos coeficientes então 7-2 + 11 esta soma algébrica é 16 por isso temos 16 raízes cúbicas de dois como um segundo exemplo, temos este menos -2 vezes raiz de três mais três vezes raiz de cinco mais 3 vezes raiz de 3 aqui considere estes dois radicais similares que têm uma raiz de três e uma raiz de três nós coletamos este radical comum e como coeficiente nós colocamos a soma coeficientes algébricos é -2 + 3 e depois adicionar 3 raiz de cinco agora -2 + 3 é 1 então temos raiz de três mais três raízes de cinco como esses dois radicais não eles são semelhantes, não se somam aqui, concluímos esta primeira parte sobre radicais com esta regra pouco agradável que é facilmente lembrado: as maçãs sim as laranjas são adicionadas com as laranjas, mas as maçãs não são adicionadas juntas com laranjas meninos depois de fazer o segundo vídeo relacionado ao segundo parte dos radicais também vou produzir algo sobre o desempenho de exercícios em radicais um pouco mais substanciais então siga-me se você achou útil esta lição em vídeo Convido-o novamente a se inscrever no meu canal do youtube usando o link que você encontra aqui abaixo na descrição, de modo a ficar atualizado sobre meus novos vídeos que eles virão e eu ficaria muito satisfeito se você, por sua vez, convidasse as pessoas que você sabe se registrar também eu quero convidá-lo a clicar nos links que eu tenho relatado para você na descrição abaixo e navegue por todos os outros recursos que fizemos visite nosso blog o site e a página facebook se você tiver alguma dúvida, por favor não comente hesite em nos deixar seus comentários se você gostou do vídeo e compartilhá-lo clique em eu gosto obrigado

Matemática – Aula 9 – Logaritmos (Parte 1)

[MÚSICA] [MÚSICA] [MÚSICA] [MÚSICA] [MÚSICA] [MÚSICA] >> [CLAUDIO] ALUNOS UNIVESP, BEM VINDOS À NOSSA AULA INICIAL DE LOGARITMOS NO CURSO DE MATEMÁTICA LOGARITMOS É UM TEMA FASCINANTE

ELE VAI ACOMPANHAR VOCÊS EM MUITAS DAS ATIVIDADES QUE VOCÊS VÃO FAZER, TANTO NAS DISCIPLINAS MAIS TEÓRICAS DE MATEMÁTICA, DE FÍSICA, DE QUÍMICA, COMO VAI ACOMPANHAR VOCÊS EM MUITAS DAS ATIVIDADES MAIS CONCRETAS, MAIS APLICADAS É UM PILAR ONDE SE CONSTRÓI A CIÊNCIA CONTEMPORÂNEA, É UMA COISA SUPER IMPORTANTE NÓS VAMOS FAZER UMA ABORDAGEM INICIAL SOBRE LOGARITMOS E ISSO VAI APARECER DEPOIS NAS NOSSAS AULAS MAIS PARA FRENTE ESSE TEMA É UM TEMA MUITO INTERESSANTE ELE APARECEU, FOI INTRODUZIDO POR UM MATEMÁTICO CHAMADO JOHN NAPIER, NO SÉCULO 17, E DEPOIS TEM UMA VISÃO MAIS MODERNA QUE FOI INTRODUZIDA PELO EULER NO SÉCULO 18

ENTÃO, É UMA TEORIA QUE ESTÁ ALI NA MIGRAÇÃO DO SÉCULO 17 PARA O 18, ONDE ESTÃO AS ORIGENS DO CÁLCULO DIFERENCIAL, DE UMA GRANDE REVOLUÇÃO CIENTÍFICA É O CONTEXTO DA REVOLUÇÃO CIENTÍFICA, OS GRANDES AVANÇOS NA CIÊNCIA NESSE PERÍODO ESTÁ OK? AQUI ESTÃO AS IMAGENS DOS DOIS SÃO IMAGENS TÍPICAS DO SÉCULO 17 E 18 SE VOCÊS OLHAREM A PERUCA, A VESTIMENTA, BEM DA ÉPOCA EM QUE ESSES CONCEITOS FORAM INTRODUZIDOS

O CONCEITO DO LOGARITMO APARECEU INICIALMENTE NESSE CALDO DE CULTURA DA REVOLUÇÃO CIENTÍFICA COMO UMA TÉCNICA PARA FACILITAR CONTAS E POR QUE ELE FACILITAVA CONTAS? EU VOU MOSTRAR PARA VOCÊS DAQUI A POUQUINHO ELE FACILITAVA CONTAS PORQUE ELE TRANSFORMAVA A DIFICULDADE DE FAZER MULTIPLICAÇÕES EM ADIÇÕES IMAGINA EU FAZER UMA MULTIPLICAÇÃO DE UM NÚMERO QUE TENHA 4 ALGARISMOS, VÍRGULA, MAIS 5 ALGARISMOS MULTIPLICADO POR UM OUTRO QUE TENHA 7 ALGARISMOS, VÍRGULA, MAIS ALGUNS OUTROS ALGARISMOS É UMA CONTA SUPER CHEIA DE PASSAGENS EM QUE A CHANCE DE ERRAR A MANIPULAÇÃO ERA MUITO GRANDE

ESSA CONTA ERA TRANSFORMADA NUMA CONTA DE UMA SIMPLES ADIÇÃO TINHA QUE TER UMA TABELA DE LOGARITMOS DO LADO, EU VOU MOSTRAR DAQUI A POUQUINHO, MAS SIMPLIFICAVA MUITO AS CONTAS POSTERIORMENTE, OS LOGARITMOS FORAM SENDO USADOS EM OUTRAS COISAS EU VOU MOSTRAR NA PRÓXIMA AULA QUE ELE APARECE, POR EXEMPLO, NA ESCALA RICHTER DE MEDIR O IMPACTO DE UM TERREMOTO A ESCALA RICHTER É UMA ESCALA LOGARÍTMICA

POR CONTA DISSO QUE O LOGARITMO MANTEVE A SUA IMPORTÂNCIA É CLARO QUE ESSA IMPORTÂNCIA HISTÓRICA, QUE EU VOU MOSTRAR DAQUI A POUCO, DE TER FACILITADO CONTAS E TRANSFORMADO MULTIPLICAÇÕES EM ADIÇÕES, ELA HOJE PERDE IMPORTÂNCIA PORQUE NÓS TEMOS UMA CALCULADORA QUE FAZ ESSAS CONTAS PARA A GENTE MAS ELE ACABOU ADQUIRINDO IMPORTÂNCIAS CONCEITUAIS MUITO GRANDES E POR ISSO QUE A GENTE AINDA USA LOGARITMO COM MUITA FREQUÊNCIA NAS CIÊNCIAS BÁSICAS CONCEITO DE LOGARITMO ENTÃO, EU VOU DIZER QUE O LOGARITMO DE UM NÚMERO "X" NUMA BASE "B" TEM UM VALOR "Y" SE ESSA BASE ELEVADA AO "Y" DER O VALOR "X"

ENTÃO, NO CONCEITO DE LOGARITMO APARECE O CONCEITO DE POTÊNCIA, DE TOMAR UMA EXPONENCIAL, DE TOMAR UMA POTENCIAÇÃO ENTÃO OBSERVE QUE O LOGARITMO DE UM NÚMERO NUMA CERTA BASE TEM UM VALOR "Y", SE A BASE ELEVADA AO "Y" FOR "X" E NESTA DEFINIÇÃO, PARA QUE TUDO ISSO FAÇA SENTIDO, A BASE TEM QUE SER POSITIVA, A BASE TEM QUE SER DIFERENTE DE 1 E ESSE "X" TEM QUE SER MAIOR QUE ZERO ESSAS ENTIDADES TÊM NOME O "B" CHAMA BASE, O "X" CHAMA LOGARITMANDO E O "Y" SE CHAMA LOGARITMO

DAQUI A POUCO EU VOU COLOCAR TRÊS PERGUNTAS E VOU RESPONDER CADA UMA DAS TRÊS PERGUNTAS POR QUE A BASE TEM QUE SER MAIOR QUE ZERO? POR QUE A BASE TEM QUE SER DIFERENTE DE 1? E POR QUE O LOGARITMANDO TEM QUE SER MAIOR QUE ZERO? DAQUI A POUQUINHO EU VOLTO E EXPLICO PORQUE NESTE CONCEITO, NESSA DEFINIÇÃO NÓS COLOCAMOS ESSAS TRÊS RESTRIÇÕES, E A RESPOSTA VAI SER: PARA GARANTIR A EXISTÊNCIA DO LOGARITMO DOS NÚMEROS ENVOLVIDOS VAMOS FAZER TRÊS EXEMPLOS PARA COMEÇAR? QUANTO SERÁ QUE DÁ LOGARITMO DE 8 NA BASE 2? LOGARITMO DE 100 NA BASE 10? LOGARITMO DE "1 SOBRE 81" NA BASE DE 1/3? LEMBRE-SE, O LOGARITMO É UM NÚMERO QUE EU FAÇO A BASE ELEVADA A ELE PARA DAR O NÚMERO PEDIDO LOGARITMO É UM EXPOENTE ENTÃO, LOGARITMO DE 8 NA BASE 2 TEM QUE SER O EXPOENTE QUE QUANDO EU FIZER 2 À TERCEIRA

2 AO EXPOENTE DÊ 8 EU JÁ ADIANTEI A RESPOSTA, QUE É 3 QUAL É O EXPOENTE QUE EU FAÇO 2 ELEVADO A ELE E DÁ 8? É O EXPOENTE 3

ENTÃO LOGARITMO DE 8 NA BASE 2 SERÁ 3 QUAL É O EXPOENTE QUE EU FAÇO 10 ELEVADO A ELE PARA DAR 100? BOM, 10 ELEVADO A UM EXPOENTE PARA DAR 100 É 2 10² QUE DÁ 100 E QUAL É O EXPOENTE QUE EU TENHO QUE ELEVAR A FRAÇÃO 1/3 PARA QUE RESULTE NA FRAÇÃO "1 SOBRE 81"? 1/3 ELEVADO A QUANTO QUE DARÁ "1 SOBRE 81"? 1/3 ELEVADO A 4 ENTÃO, O LOGARITMO DE 8 NA BASE 2 É 3

PORQUE 2³ É 8 O LOGARITMO DE 100 NA BASE 10 É 2 PORQUE 10² É 100 E O LOGARITMO DE "1 SOBRE 81" NA BASE 1/3 É 4 PORQUE 1/3 À QUARTA DÁ "1 SOBRE 81" OK? ÀS VEZES NÃO É TÃO SIMPLES FAZER DE CABEÇA QUE NÚMERO QUE EU TENHO QUE FAZER 2 ELEVADO A ELE PARA DAR 0,125? LEMBRE-SE, O LOGARITMO É O EXPOENTE

NÃO É FÁCIL FAZER DE CABEÇA? NÃO OCORRE A RESPOSTA MENTALMENTE PARA A GENTE? NÃO TEM NENHUM PROBLEMA COMO É QUE A GENTE FAZ EM MATEMÁTICA QUANDO VOCÊ QUER CALCULAR UMA COISA QUE NÃO É EVIDENTE PARA FAZER MENTALMENTE? ATITUDE RECORRENTE NA MATEMÁTICA: VOCÊ DÁ UM NOME DE VARIÁVEL PARA ISSO VOCÊ CHAMA ISSO DE INCÓGNITA, VOCÊ PÕE UMA LETRA PARA INDICAR ISSO QUE VOCÊ NÃO CONSEGUIU CALCULAR DE CABEÇA CHAMA DE UMA INCÓGNITA COM UMA LETRINHA E MONTA UMA EQUAÇÃO ENVOLVENDO AQUELA INCÓGNITA A GENTE FAZ ISSO O TEMPO INTEIRO EM MATEMÁTICA

OLHA SÓ EU NÃO SEI QUANTO É O LOGARITMO DE 0,125 NA BASE 2, EU CHAMO DE "Y" VAI SER A MINHA INCÓGNITA DEFINIÇÃO DE LOGARITMO: "2 ELEVADO A 'Y'", O LOGARITMO É O EXPOENTE, "2 ELEVADO A 'Y'" É 0,125 E AGORA EU TRATO COMO UMA EQUAÇÃO, QUE NO CASO VAI SER UMA EQUAÇÃO EXPONENCIAL

0,125 É 125 DIVIDIDO POR 1000 COMEÇO SIMPLIFICAR POR 5, DÁ 25/200 SIMPLIFICO POR 5 DE NOVO, DÁ 5/40 SIMPLIFICO POR 5 DE NOVO, DÁ 1/8 NO FIM DE TODAS AS SIMPLIFICAÇÕES, 125/1000 É 1/8

ENTÃO "2 ELEVADO A 'Y'" É 1/8 1/8 É 1/2 ELEVADO A 1/3 1/2 É "2 ELEVADO A -1" AULA DE POTÊNCIAS, EXPOENTE NEGATIVO "1 SOBRE" É EXPOENTE NEGATIVO

"1 SOBRE 2" É "2 ELEVADO A -1" "2 ELEVADO A -1" ELEVADO À TERCEIRA É "2 ELEVADO A -3" MAS ENTÃO RESOLVEU? PORQUE SE "2 ELEVADO A 'Y'" É "2 ELEVADO A -3" É PORQUE ESSE "Y" É -3 E ESTÁ CALCULADO O LOGARITMO DE 0,125 NA BASE 2, É -3 OBSERVE QUE OS LOGARITMOS, O RESULTADO DA CONTA LOGARITMO PODE SER NEGATIVO

O LOGARITMANDO TEM QUE SER POSITIVO, A BASE TEM QUE SER POSITIVA, MAS O RESULTADO PODE SER NEGATIVO E NUNCA SE ESQUEÇA, LOGARITMO É O EXPOENTE LOGARITMO É SINÔNIMO DE EXPOENTE PARA REALIZAR UMA CERTA IGUALDADE SEMPRE QUE VOCÊ TIVER DÚVIDA, LEMBRA DISSO: LOGARITMO É O EXPOENTE VAMOS VER AQUELAS 3 PERGUNTAS

POR QUE O LOGARITMANDO TEM QUE SER POSITIVO? O QUE ACONTECERIA SE EU TENTASSE CALCULAR LOGARITMO DE -8 NA BASE 2? NÃO DARIA CERTO OLHA SÓ! CHAMA DE "Y", COMO EU ACABEI DE FAZER NO EXERCÍCIO ANTERIOR, E DEU TUDO CERTINHO, CHAMA DE "Y" SE O LOGARITMO DE -8 NA BASE DE 2 FOR "Y", "2 ELEVADO A 'Y'" DÁ -8 MAS ACONTECE QUE NÃO TEM SOLUÇÃO ESSA EQUAÇÃO NÃO EXISTE NÚMERO QUE 2 ELEVADO A ELE DÊ NEGATIVO

SE ESSE NÚMERO É POSITIVO, ISSO DAQUI VAI DAR MAIOR DO QUE 1 SE ESSE NÚMERO É ZERO, "2 ELEVADO A 0" DÁ 1 SE ESSE NÚMERO É NEGATIVO, TIPO -3, DÁ "1 SOBRE", MAS NÃO DÁ NEGATIVO O RESULTADO OU SEJA, NUNCA "2 ELEVADO A 'Y'" É -8 NUNCA TEM SOLUÇÃO PARA UMA EQUAÇÃO DESSE TIPO, "2 ELEVADO A 'Y'" QUE DÁ -8

ENTÃO, COMO ESSA EQUAÇÃO NÃO TEM SOLUÇÃO, NÃO DÁ PARA TER O LOGARITMO DE LOGARITMANDO NEGATIVO É SÓ POR CAUSA DISSO PORQUE ELE NÃO PODE SER NEGATIVO, PORQUE O LOGARITMO NÃO EXISTIRIA POR QUE A BASE TEM QUE SER POSITIVA? POR QUE EU NÃO CONSIGO CALCULAR LOGARITMO DE 8 NA BASE -2? MESMA COISA NÃO SEI QUANTO ISSO DÁ, PROCEDIMENTO: CHAMA DE "Y", TRATA COMO SE FOSSE UMA INCÓGNITA, E VAMOS CALCULAR "-2 ELEVADO 'Y'" PARA DAR 8, SERÁ QUE TEM ESSE EXPOENTE QUE FAZ ISSO DAR 8? PARA QUE AQUELE 2 VIRASSE UM 8, PRECISARIA SER UM EXPOENTE 3, MAS SE EU PUSER 3 DÁ -8

SE EU PUSER -3 DÁ "1 SOBRE" NÃO TEM NADA QUE EU COLOQUE AQUI NO LUGAR DESSE "Y" QUE FAÇA -2 ELEVADO A ELE DAR 8 ENTÃO, EU NÃO CONSIGO RESOLVER A EQUAÇÃO, NÃO TEM O LOGARITMO DE UMA BASE NEGATIVA E POR QUE A BASE TEM QUE SER DIFERENTE DE 1? DE NOVO, POR QUE EU NÃO CONSIGO CALCULAR LOGARITMO DE 8 NA BASE 1? SE EU TENTAR CALCULAR, CHAMO DE "Y" SIGNIFICA QUE "1 ELEVADO A 'Y'" TEM QUE DAR 8 BOM, MAS 1 ELEVADO A QUALQUER COISA DÁ 1

ENTÃO NÃO EXISTE "Y" QUE TRANSFORME ESSA SENTENÇA NUMA SENTENÇA VERDADEIRA OU EM OUTRAS PALAVRAS, ESTA EQUAÇÃO NÃO TEM SOLUÇÃO ENTÃO NÃO EXISTE O LOGARITMO DE 8 NA BASE 1 QUER DIZER, EU COLOCO NAS CONDIÇÕES DA DEFINIÇÃO DE LOGARITMO AQUELAS CONDIÇÕES QUE FAZEM COM QUE O LOGARITMO EXISTA, QUE EU TENHA CERTEZA QUE ELE EXISTE EU FIZ ALGUNS EXEMPLOS PARA VOCÊS DE LOGARITMOS QUE EXISTIAM COM NÚMEROS FÁCEIS, FIZ ESSES QUE MOSTRAM QUE NÃO EXISTE, MAS A CONCLUSÃO FINAL É ASSIM: NAQUELAS CONDIÇÕES DE EXISTÊNCIA NA DEFINIÇÃO SEMPRE EXISTE O LOGARITMO

NEM SEMPRE É FÁCIL DE CALCULAR POR EXEMPLO, QUAL É O LOGARITMO DE 10 NA BASE 2? CHAMO DE "Y" É UM EXPOENTE QUE 2 ELEVADO A ELE DÁ 10 ESSE NÚMERO NÃO É UM NÚMERO INTEIRO ENTÃO QUEM É O LOGARITMO DE 10 NA BASE DE 2? EU FAÇO POR APROXIMAÇÕES

COM UMA CALCULADORA, EU FAÇO DIRETO, MAS AGORA VAMOS TENTAR PENSAR CONCEITUALMENTE O QUE É O "Y" QUE VAI FAZER ISSO DAR CERTO? ORA, "2 ELEVADO A 'Y'" É IGUAL A 10, A SOLUÇÃO VAI SER 3,31 POR QUE SERÁ QUE É ISSO? BOM, 2³ DÁ 8, 2⁴ DÁ 16 ENTÃO VEJA, O NÚMERO "Y" QUE VAI FAZER 2 ELEVADO A ELE DAR 10 TEM QUE ESTAR ENTRE 3 E 4, E TEM QUE ESTAR MAIS PERTO DO 3, PORQUE 2³ É 8, ESTÁ MAIS PERTO DE 10 DO QUE 2⁴, QUE É 16 ENTÃO ALGO ME DIZ QUE É UM POUQUINHO MAIOR DO QUE 3

"MAS EU NÃO CONSIGO VISUALIZAR ESSA CONTA" ENTÃO, CONCEITUALMENTE, O QUE ESTÁ POR TRÁS É O SEGUINTE BOM, EU JÁ VI QUE É MAIOR DO QUE 3 E MENOR DO QUE 4

AGORA, PENSA NO SEGUINTE: O QUE É "2 ELEVADO A 3,3"? EMBORA SEJA DE MANIPULAÇÃO COMPLEXA, ISSO É "2 ELEVADO 33/10", 3,3 É ISSO "RAIZ DÉCIMA DE 2 ELEVADO A 33" EMBORA SEJA UMA MANIPULAÇÃO COMPLEXA, ISSO 9,84 "2 ELEVADO A 3,4", UMA UNIDADE A MAIS NA SEGUNDA CASA, ESTÁ VENDO? 3,3 3,4

É "2 ELEVADO A 34/10" "RAIZ DÉCIMA DE 2 ELEVADO A 34", QUE DÁ 10,56 TAMBÉM É UMA MANIPULAÇÃO NÃO TRIVIAL, MAS DÁ ISSO OBSERVE QUE ESSE ESTÁ BEM MAIS PERTO DO QUE ESSE, ENTÃO O MEU CANDIDATO À SOLUÇÃO DA EQUAÇÃO "2 ELEVADO A 'Y'" IGUAL A 10 3,3

E AÍ EU JÁ SEI COM UMA CASA DEPOIS DÁ VÍRGULA QUE É 3,3 E A PRÓXIMA CASA? BOM, E AÍ REPETE TENTA AGORA "3,31", "3,32" E VAI VENDO QUAL É O QUE ESTÁ MAIS PERTO ISSO DO PONTO DE VISTA CONCEITUAL, PARA QUE VOCÊS ENTENDAM O QUE EU QUERO DIZER QUANDO EU FALO QUE A SOLUÇÃO DESSA EQUAÇÃO É 3,310 É CLARO QUE NA HORA DE OBTER ESSE NÚMERO NÓS VAMOS USAR UMA CALCULADORA

CLARO UMA OUTRA PROPRIEDADE FUNDAMENTAL DOS LOGARITMOS É QUE O LOGARITMO DE UM PRODUTO É A SOMA DOS LOGARITMOS FOI ESSA PROPRIEDADE QUE DEU ORIGEM AOS LOGARITMOS ERA ESSA PROPRIEDADE QUE NAPIER, QUE EULER OLHAVAM COMO PROPRIEDADE FUNDADORA, FUNDAMENTAL NO CONCEITO DE LOGARITMO SÓ UM EXEMPLO NUMÉRICO PARA MOSTRAR QUE A PROPRIEDADE FUNCIONA

LOG 256 NA BASE 2 É 8, PORQUE SE VOCÊ FIZER "2 ELEVADO A 8" DÁ 256 OBSERVE QUE 256 É 8 VEZES 32 É SÓ FAZER A CONTA, 8 VEZES 2 DÁ 16, TEM 1 QUE SOBRA 3 VEZES 8 DÁ 24, COM AQUELE 1 DÁ 25 ENTÃO, LOG DE 256 NA BASE 2 É 8

LOG DE 256 É LOG DE 32 VEZES 8, PORQUE 256 É 32 VEZES 8 E OBSERVE A SOMA: "LOG DE 32 NA BASE 2" MAIS "LOG DE 8 NA BASE 2" 32 NA BASE 2, O LOG É 5 LOG DE 8 NA BASE 2 É 3 5 MAIS 3 DÁ 8, COMO A GENTE TINHA VISTO QUE ERA O LOG 256

ENTÃO, FIZ SÓ UMA CONTA PARA MOSTRAR ESSA PROPRIEDADE EU NÃO FIZ A DEMONSTRAÇÃO FORMAL DA PROPRIEDADE, MAS ILUSTREI QUE A PROPRIEDADE FUNCIONA NESSE CASO FOI ESSA PROPRIEDADE QUE FOI FUNDADORA DOS LOGARITMOS ISSO TEM UMA UTILIDADE QUE É NOS MOSTRAR QUE EU POSSO FAZER MULTIPLICAÇÕES SEM FAZER A MULTIPLICAÇÃO, FAZENDO ADIÇÕES JUSTAMENTE POR CAUSA DESSA PROPRIEDADE QUE O LOGARITMO DE UM PRODUTO É A SOMA DOS LOGARITMOS

ENTÃO, OS LOGARITMOS NASCERAM NESSA APLICAÇÃO A PROPRIEDADE FUNDADORA FOI QUE ELE TRANSFORMAVA PRODUTO EM SOMA E PODIA PERMITIR QUE NÓS CALCULÁSSEMOS UMA MULTIPLICAÇÃO SEM TER QUE FAZER A MULTIPLICAÇÃO, FAZENDO UMA ADIÇÃO PARA ISSO ERA PRECISO TER UMA TABELA DE LOGARITMOS E EU VOU MOSTRAR ISSO PARA VOCÊS A PARTIR DO RENASCIMENTO FORAM SENDO CONSTRUÍDAS VERDADEIRAS TABELAS DE LOGARITMOS QUE ERAM LIVROS, SÓ COM NÚMEROS E ESSENCIALMENTE ERAM TABELAS DESSE TIPO TINHA UMA COLUNA COM NÚMEROS "X" E UMA COLUNA COM O LOGARITMO DE "X" NUMA DETERMINADA BASE

A BASE QUE FOI UTILIZADA INICIALMENTE FOI A BASE 10 PRÓXIMA AULA EU VOU COMENTAR UM POUQUINHO DA BASE "E", MAS POR ENQUANTO VAMOS TRABALHAR COM BASE 10 BASE 10 E APARECIA OS LOGARITMOS ENTÃO TINHA UMA TABELA E DE NÚMERO POR NÚMERO AQUI EU COLOQUEI O 789 E O 913 QUE EU VOU UTILIZAR NO MEU EXEMPLO, MAS NA TABELA VOCÊ TINHA 789, 790, 791

E ÀS VEZES COM NÚMEROS COM DECIMAIS, AS TABELAS PODIAM SER MAIS PRECISAS OU MENOS PRECISAS, COM MAIS CASAS DEPOIS DA VÍRGULA OU MENOS, MAS ERAM LIVROS COM NÚMEROS E OS SEUS LOGARITMOS MUITO BEM, EU AQUI JÁ MOSTREI UMA TABELA EM QUE SE ACHA NUMA LINHA O LOGARITMO DE 789 E NA OUTRA O LOGARITMO DE 913 MAS IMAGINE QUE VOCÊ TEM UMA TABELA COM UMA GRANDE QUANTIDADE DE NÚMEROS, AUMENTANDO DE 1 EM 1 OU DE 0,1 EM 0,1, DEPENDENDO DA PRECISÃO MUITO BEM PROBLEMA: VAMOS FAZER UMA CONTA DE MULTIPLICAR 2 NÚMEROS, 789 VEZES 913, SEM EFETIVAMENTE FAZER A CONTA DE VEZES

IMAGINE QUE ESSES NÚMEROS PUDESSEM TER MUITO MAIS CASAS DO QUE ESSES DAQUI, PODIA TER VÍRGULA E UMA SÉRIE DE ALGARISMOS DEPOIS DA VÍRGULA TRANSFORMANDO A CONTA DE FATO NUMA CONTA DE MANIPULAÇÃO ELABORADA O QUE A GENTE FAZ? OLHA QUE SOLUÇÃO GENIAL VOU CHAMAR POR ENQUANTO O PRODUTO DE "M", O RESULTADO DE FAZER ESSA MULTIPLICAÇÃO, 789 VEZES 913 EU NÃO SEI QUANTO É, É O QUE EU QUERO DESCOBRIR

O "M" É EXATAMENTE O QUE EU QUERO DESCOBRIR PENSA NO LOGARITMO DO "M" NA BASE 10, QUE É A BASE DAQUELA TABELA DE LOGARITMOS QUE EU IMAGINO QUE A GENTE TEM BOM, POR CONTA DA PROPRIEDADE QUE O LOG DO PRODUTO É A SOMA DOS LOGS, LOG DESSE "M" É O LOG DO 789 VEZES O 913 LOG DO PRODUTO É A SOMA DOS LOGS ENTÃO FICA LOG DE 789 NA BASE 10, LOG DE 913 NA BASE 10

AGORA, ESSES NÚMEROS VOCÊ TEM NA TABELA, EU MOSTREI PARA VOCÊS UMA TABELA EM QUE TINHA ESSES NÚMEROS BOM, EU PEGUEI ESSES NÚMEROS PORQUE É OS DO MEU EXEMPLO, MAS A PRIORI VOCÊ PEGA OS DOIS NÚMEROS QUE VOCÊ TIVER E VAI NUMA TABELA E ACHA LÁ NA TABELA O LOG DESSE E O LOG DAQUELE ENTÃO 2,89 MAIS 2,96 DÁ 5,85 ENTÃO PERCEBE, DOIS NÚMEROS QUAISQUER QUE VOCÊ QUER MULTIPLICAR

LOG DO PRIMEIRO MAIS LOG DO SEGUNDO É SÓ CONSULTAR NA TABELA O LOG DO PRIMEIRO, O LOG DO SEGUNDO OBTEVE OS DOIS LOGS, SOME SOMAR É FÁCIL SE OBTÉM UM NÚMERO, SÓ FAZENDO UMA ADIÇÃO

QUEM É ESSE NÚMERO ADIÇÃO? É O LOG DO PRODUTO JUSTAMENTE PORQUE O LOG DO PRODUTO É A SOMA DOS LOGS ENTÃO VOCÊ SOMA OS DOIS E ISSO DÁ O LOG DO PRODUTO BOM, SE O LOG DO "M" NA BASE 10 É 5,85, EU VOLTO NAQUELA TABELA EU VOLTO NAQUELA TABELA E AGORA FAÇO O CONTRÁRIO, AO INVÉS DE PROCURAR OS NÚMEROS E OS SEUS LOGS, EU JÁ SEI QUE FAZENDO A SOMA, EU OBTIVE O LOG DO PRODUTO QUE ESTÁ AQUI, EU ACHO 5,85

QUE NÚMERO ESTÁ AQUI NA FRENTE? ORA, É UM NÚMERO CUJO LOG 5,85 ENTÃO, EU QUERIA MULTIPLICAR ESSES DOIS NÚMEROS, EU PROCUREI O LOG DE CADA UM, ACHEI O LOG DE CADA UM, SOMEI, DEU ESSE NÚMERO AQUI, 5,85, ESSE NÚMERO É O LOG DO PRODUTO, EU OLHO NA TABELA QUE NÚMERO ESTÁ AQUI: 720357 ORA, ESSE NÚMERO É O PRODUTO DESSES DOIS ENTÃO, 789 VEZES 913 É 720

357 E EU NÃO PRECISEI FAZER A CONTA DE VEZES IMAGINE PARA NÚMEROS ENORMES, EU PEGO O PRIMEIRO NÚMERO, OLHO O LOG, PEGO O SEGUNDO NÚMERO, OLHO O LOG, SOMO, PROCURO NA COLUNA ONDE É QUE ESTÁ O RESULTADO DA SOMA E LEIO NA ESQUERDA O VALOR DO PRODUTO GENIAL, NÃO É? E FOI ESSA A IDEIA FUNDADORA DOS LOGARITMOS OK? FICAMOS POR AQUI HOJE

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Matemática – Aula 10 – Logaritmos (Parte 2)

[MÚSICA] [MÚSICA] [MÚSICA] [MÚSICA] [MÚSICA] >> [CLAUDIO] ALUNOS DA UNIVESP BEM VINDO A MAIS UMA AULA DO NOSSO CURSO DE MATEMÁTICA ESSA VAI SER A SEGUNDA AULA SOBRE LOGARITMOS UM TEMA EXTREMAMENTE FASCINANTE, RICO EM APLICAÇÕES, EM CIÊNCIA E TECNOLOGIA COMO VOCÊS VÃO VER NA AULA DE HOJE

ENTÃO CONTINUANDO NO NOSSO ESTUDO DE LOGARITMOS, VAMOS LEMBRAR NA AULA PASSADA NÓS VIMOS A DEFINIÇÃO DE LOGARITMOS ESSENCIALMENTE QUE O LOGARITMO É UM EXPOENTE O "Y" É O LOGARITMO DE UM NÚMERO "X" NA BASE "B", SE ESSE "Y" É O EXPOENTE QUE O TAL QUE EU FAÇO A BASE ELEVADA AO EXPOENTE PARA OBTER O "X" ENTÃO ESSA IGUALDADE SIGNIFICA QUE O "X" É O "B" ELEVADO A "Y" NÓS VIMOS A SEGUINTE PROPRIEDADE, QUE O LOGARITMO DO PRODUTO É A SOMA DOS LOGARITMOS CONSEQUÊNCIA DESSA PROPRIEDADE É QUE O LOGARITMO DE "X" ELEVADA UMA POTÊNCIA, TUDO SE PASSA COMO SE A POTÊNCIA DESCESSE AQUI PRA FRENTE E FICASSE O EXPOENTE VEZES O LOGARITMO

PENSA QUE VOCÊ TEM "X" AO QUADRADO, "X" AO QUADRADO É "X" VEZES "X" ENTÃO SE EU TIVER LOGARITMO DE "X" AO QUADRADO É "X" VEZES "X", FICA LOGARITMO DE "X" MAIS LOGARITMO DE "X" DUAS VEZES, ENTÃO "X" AO QUADRADO TUDO SE PASSA COMO SE DOIS DESCESSE E FICASSE AQUI NA FRENTE ISSO VALE PARA QUALQUER EXPOENTE, ACABEI DE EXEMPLIFICAR POR DOIS, MAS VALE PARA QUALQUER EXPOENTE QUE A GENTE TEM ENTÃO ESSA É UMA PROPRIEDADE IMPORTANTE DE LOGARITMOS, A GENTE PODE PEGAR UM EXPOENTE ESTEJA NO LOGARITMANDO E PUXAR PRA FRENTE DO LOGARITMO, ISSO VAI APARECER NAS NOSSAS CONTAS MUITAS VEZES DANDO CONTINUIDADE ENTÃO AS PROPRIEDADES BÁSICAS DOS LOGARITMOS VAMOS OBSERVAR O SEGUINTE: LOGARITMO DE 1 EM QUALQUER BASE DA ZERO, QUALQUER BASE, LOGARITMO DE 1 SEMPRE DA ZERO

PORQUE QUALQUER BASE É LEVADO A ZERO DÁ 1, LOGARITMO É EXPOENTE, O EXPOENTE PARA QUE O RESULTADO DA POTÊNCIA SEJA 1 TEM O SER EXPOENTE ZERO LOGARITMO DO NÚMERO QUE É IGUAL A BASE, VOCÊ PEGA LOGARITMO DE 10 NA BASE 10, LOGARITMO DE 7 NA BASE 7 OU LOGARITMO DE 500 NA BASE 500, SEMPRE 1 PORQUE A BASE ELEVADA 1 DA ELA MESMO, SE EU COLOCAR O MESMO NÚMERO AQUI O EXPOENTE QUE FAZ A BASE LEVADO A ELE DA ESSE NÚMERO É O NÚMERO 1 ENTÃO NORMAL, LOGARITMO DE "B" NA BASE "B" SEMPRE É 1 1 SOB O EXPOENTE, SEMPRE É 1 1 SOB O EXPOENTE, O OPOSTO, LEMBRE SE QUE 1 SOBRE "Y" É "Y" ELEVADO A "-1" E A PROPRIEDADE DO EXPOENTE QUE PODE SER COLOCADO NA FRENTE

"Y" ELEVADO "-1", TUDO SE PASSA COMO SE AO "-1" DESCESSE AQUI PRA FRENTE FICA MENOS O LOG DE "Y" ENTÃO ÀS VEZES É MAIS FÁCIL TRABALHAR COM ESSA PROPRIEDADE DO QUE FAZER A CONTA COM UM NÚMERO QUE ESTÁ DADO OBSERVE-SE ESSE EXEMPLO AQUI: LOG DE 1 SOBRE 243, LOG NA BASE 3, EU SEI QUE 243, LOG NA BASE 3, EU SEI QUE 243 É UMA POTÊNCIA DE 3, 3 AO QUADRADO DA 9, AO CUBO DA 27, A QUARTA POTÊNCIA DA 81 E A QUINTA POTÊNCIA DA 243 ENTÃO, É ISSO AQUI É 3 E LEVADO À QUINTA, FICA MAIS FÁCIL FAZER A CONTA SE NO LUGAR DE 1 SOBRE 243 COLOCAR MENOS O LOGARITMO DE 243 QUE É AQUELA PROPRIEDADE DO EXPOENTE QUE DESCE ENTÃO ISSO AQUI É MENOS O LOGARITMO DE 243 QUE É 5, ENTÃO FICA MENOS CINCO

CERTO? É UMA PROPRIEDADE QUE FACILITA ALGUMAS DAS NOSSAS CONTAS POR ISSO É IMPORTANTE TER SEU REPERTÓRIO DE PROPRIEDADES OPERATÓRIAS QUE A GENTE USA NO MEIO DOS NOSSOS CÁLCULOS UMA QUARTA PROPRIEDADE PARA CONSCIENTE, LOGARITMO DE UM CONSCIENTE É A SUBTRAÇÃO DOS LOGARITMOS ISSO ENTÃO É O ANÁLOGO QUE A GENTE FAZ, QUANDO É LOGARITMO DO PRODUTO É A SOMA DOS LOGARITMOS, QUANDO É LOGARITMO DE UMA DIVISÃO É A SUBTRAÇÃO DOS LUGARES, PODE SER FEITO USANDO A PROPRIEDADE DE CIMA, "X" SOBRE "Y" É A MESMA COISA QUE "X" VEZES 1 SOBRE "Y", ENTÃO VAI SER A SOMA DO LOG DE "X" COM O LOG DE UM SOBRE "Y", MAS O LOG DE UM SOBRE "Y" É MENOS O LOG DE "Y" ENTÃO É LOGARITMO DE UM COCIENTE Á SUBTRAÇÃO DOS LOGARITMOS UMA OUTRA PROPRIEDADE, UMA PROPRIEDADE MAIS SUTIL, MAS QUE TEM SUA UTILIDADE É QUE SE EU TIVER UMA POTÊNCIA NA BASE, LOGARITMO DE UMA BASE ELEVADA A UM EXPOENTE DE UM NÚMERO "X", ISSO É IGUAL A 1 SOBRE A BASE VEZES O LOGARITMO DE "X" NA BASE SEM O EXPOENTE ENTÃO SE EU TIVER A BASE ELEVADA AO EXPOENTE TUDO SE PASSA COMO SE ESSE EXPOENTE VIESSE AQUI PRA FRENTE MAS NA FORMA DE UM SOBRE

LEMBRE-SE QUANDO EU TENHO UM EXPOENTE "LOGARITMANDO" ELE DESCE AQUI PRA FRENTE COMO UM COEFICIENTE MULTIPLICATIVO, QUANDO EU TENHO UM EXPOENTE NA BASE ELE SOBE AQUI PRA FRENTE, VEM AQUI PRA FRENTE, COMO 1 SOBRE, ESSA É UMA PROPRIEDADE ÚTIL TAMBÉM PARA FAZER CERTAS CÁLCULOS, POR EXEMPLO, VOCÊ TEM UM LOG DE 1024 NA BASE 16 RAPIDAMENTE A GENTE LEMBRA QUE 1024 É UMA POTÊNCIA CONHECIDA, 1024 É UMA POTÊNCIA IMPORTANTE, É UMA POTÊNCIA BÁSICA DA POTÊNCIA DE 2 É 2 ELEVADO À DÉCIMA, MAS A BASE NÃO É 2, A BASE É 16 SE EU QUISER USAR A DEFINIÇÃO EU VOU TER QUE MANIPULAR COM ESSE 16 PARA CHEGAR NO 1024 E EU SEI QUE DO 2 PARA 1024 É BÁSICO, É FÁCIL, É 2 LEVADO À DECIMA E 16 TEM A VER COM 2, 16 É 2 A QUARTA, ENTÃO EU POSSO COLOCAR A BASE 16 COMO SENDO UMA POTÊNCIA DE BASE 2, AI EU TENHO ESSE EXPOENTE 4 AQUI, ELE VEM AQUI PRA FRENTE COMO SENDO UM QUARTO E FICA UM QUARTO LOGARITMO DE 1024 NA BASE 2 O 1024 NA BASE 2 EU SEI QUE O LOGARITMO É 10, PORQUE EU CONHEÇO A POTÊNCIA 2 ELEVADO À DÉCIMA É IGUAL 1024 ENTÃO FICA ISSO FICA UM QUARTO DE 10 OU 5 SOBRE DOIS É MAIS RÁPIDO CHEGAR NESSE RESULTADO VIA ESSA PROPRIEDADE DO QUE TENTAR FAZER USANDO A DEFINIÇÃO DE LOGARITMO EXISTE DEFINIÇÃO DE LOGARITMO

EXISTE UMA FÓRMULA CHAMADA FÓRMULA DE MUDANÇA DE BASE NOS LOGARITMOS, LOGARITMO DE QUALQUER NÚMERO "A" NUMA BASE "B", SATISFEITAS AS CONDIÇÕES DE EXISTÊNCIA, POSITIVOS A BASE NÃO PODE SER 1, TEM QUE SER POSITIVA TAMBÉM LOGARITMO DE "A" NA BASE "B" SE ESCREVE COMO LOGARITMO DE "A" NA BASE "C" VEZES LOGARITMO DE "B" NA BASE "C" EM QUE "C" É UMA TERCEIRA BASE, QUALQUER BASE, QUE TEM QUE SATISFAZER AS CONDIÇÕES DE EXISTÊNCIA ENTÃO ISSO CHAMA-SE MUDANÇA DE BASE TEM UMA IMPORTÂNCIA QUE EU JÁ VOU MOSTRAR UM POUQUINHO, MAS DEIXA EU DAR SÓ DAR NUMÉRICO PRA FICAR BEM CLARO COMO É QUE SE USA ISSO LOGARITMO DE 512 NA BASE 64, TANTO 512 QUANTO 64 SÃO POTÊNCIAS DE 2, ENTÃO VOU TRANSFORMAR TUDO EM UM LOGARITMO DE BASE DOIS E LOGS DE 512 NA BASE 64 É LOG DE 512 NA BASE 2, SOBRE LOG DE 64 NA BASE 2

É ISSO QUE AFIRMA A PROPRIEDADE DE MUDANÇA DE BASE, OBSERVE QUE ESTOU APLICANDO COM "A" IGUAL 512, "B" IGUAL "A" 64 E INTRODUZIR UMA BASE NOVA "C" QUE A TERCEIRA BASE A ESCOLHA DA BASE "C" QUE EU VOU USAR DEPENDE EM CADA EXERCÍCIO DE ESCOLHER UMA BASE QUE FACILITE A MINHA VIDA NESTE CASO ERA A BASE 2 QUE IRIA TORNAR MINHAS CONTAS MAIS RÁPIDAS LOG DE 512 NA BASE 2 É 9, LOGO DE 64 NA BASE 2 É 6, ENTÃO ISSO É 9/6 E 3/2 ENTÃO O DOMÍNIO DESSAS PROPRIEDADES OPERATÓRIAS PERMITEM QUE AS NOSSAS CONTAS SEJAM AGILIZADAS, POR ISSO É IMPORTANTE TER UM REPERTÓRIO DE PROPRIEDADES CONHECIDAS SOBRE OS CONCEITOS MATEMÁTICOS TEM UMA OUTRA CONSEQUÊNCIA ESSA PROPRIEDADE DE MUDANÇA DE BASE, VOU MOSTRAR AGORA, FAZENDO UMA COMPARAÇÃO ENTRE AS DUAS BASES, MAS VOCÊ VAI PODER PERCEBER O SEGUINTE, DO PONTO DE VISTA BEM CONCEITUAL, SE VOCÊ CONHECE LOGARITMO NUMA BASE PRATICAMENTE VOCÊ CONHECE LOGARITMO EM QUALQUER OUTRA BASE, SE VOCÊ TEM UMA TABELA DE LOGARITMOS NUMA DETERMINADA BASE NÃO É DIFÍCIL CONVERTER PARA LOGARITMOS EM OUTRA BASE

OLHA QUE BONITINHA ESSA ANÁLISE, IMAGINE QUE VOCÊ SAIBA QUE LOGO DE 10 NA BASE 2 É 3,33 IMAGINE QUE ISSO SEJA É 3,33 IMAGINE QUE ISSO SEJA CONHECIDO, ENTÃO NÓS PODEMOS ESCREVER O SEGUINTE: LOG DE QUALQUER "X" NA BASE 10, LOG DE QUALQUER "X" NA BASE 10 É LOG DE "X" NA BASE DOIS, LOG DE 10 NA BASE 2 POR QUE EU ESCOLHI DOIS COM ESSA BASE? PORQUE EU TINHA QUE CONHECER O LOG DE 10 EM ALGUMA BASE E AÍ O LOG DESSA BASE CONHECIDO NA BASE 2 EU VOU PASSAR TUDO PRA BASE 2 BOM, SE EU SEI QUE LOG DE 10 NA BASE 2 É 3,3 ENTÃO ESSE 1 SOBRE O LOG DE 10 NA BASE 2 É UM SOBRE 3,3 E O LOG DE "X" NA BASE 2 FICA AQUI NA FRENTE, FAÇO ESSA CONTA, NO MEU CASO DE 0,3, ESSES NÚMEROS SÃO TODOS APROXIMADOS, É CLARO

MAS OBSERVE O QUE TEM NO COMEÇO E O QUE TEM NO FIM, LOG DE "X" NA BASE 10, LOG DE LOG DE "X" NA BASE 10, LOG DE "X" NA BASE 2 DE E O FATOR MULTIPLICANDO AQUI NA FRENTE EU PODERIA TER FEITO PARA QUALQUER BASE, O QUE EU PRECISO TER EM MÃOS PARA FAZER ESTA TRANSFORMAÇÃO? SABER O LOGARITMO DA BASE INICIAL, 10, NA BASE NOVA, 2, SE EU TENHO UM LOGARITMO NUMA DETERMINADA BASE E EU QUERO MUDAR PARA UMA OUTRA BASE BASTA EU SABER O LOGARITMO DA BASE ANTIGA NA BASE NOVA E AI EU APLICO ESSA FÓRMULA, SE EU SOUBER O LOGARITMO DA BASE ANTIGA NA BASE NOVA EU PASSO DE LOG DE "A" NA BASE "B" PRA LOG DE "A" NA BASE NOVA, "C", E TUDO FICA MULTIPLICADO NUMA CONSTANTE RESUMINDO, OS LOGARITMOS DE UMA BASE EM OUTRA, DOS MESMOS NÚMEROS, OBSERVE QUE É "X" E "X", ELES FICAM ELE VAI DE UMA BASE PARA OUTRA PELA MULTIPLICAÇÃO SEMPRE POR UMA MESMA CONSTANTE, CONSTANTE ESSA QUE É O LOGARITMO DA BASE ANTIGA NA BASE NOVA, NA VERDADE 1 SOBRE O LOGARITMO DA BASE ANTIGA NA BASE NOVA, 1 SOBRE O LOGARITMO DA BASE ANTIGA NA BASE NOVA, MUITO BONITA ESSA MONTAGEM QUE EU ACABEI DE MOSTRAR PRA VOCÊS, NÉ? ENTÃO AQUI EU TENHO UM ELENCO DE PROPRIEDADES IMPORTANTES, RESUMINDO TODOS AS PROPRIEDADES QUE EU MOSTREI AGORA, LOG DE 1 NA BASE "B" É SEMPRE ZERO, "B" NA BASE "B" SEMPRE É 1, LOG DO COCIENTE É A SUBTRAÇÃO DOS LOGS, EXPOENTE NA BASE VEM PRA FRENTE DO LOG COMO 1 SOBRE E MUDANÇA DE BASE, LOG DE "A" NA BASE "B" SE PASSA POR UMA BASE "C" E FAZENDO COCIENTE DO "LOGARITMANDO" A BASE "C" SOBRE O LOG DA BASE NA NOVA BASE ESSAS PROPRIEDADES TODAS PARA SEREM VERDADEIRAS CLARO QUE TEM QUE ESTAR DENTRO DO CONTEXTO EM QUE VALE AS PROPRIEDADES LOGARITMO QUE SÃO AS BASES POSITIVAS E DIFERENTES DE 1 E OS "LOGARITMANDOS" POSITIVOS, SE NÃO EXISTEM OS LOGARITMOS COMO EU MOSTREI NA AULA PASSADA EU MOSTREI NA AULA PASSADA BASE E NÓS VAMOS FALAR UM POUQUINHO HOJE EM AULAS FUTURA A GENTE VAI VOLTAR A ESTE NÚMERO "E" O NÚMERO "E" É UM NÚMERO EXTREMAMENTE IMPORTANTE "E" ELE É UM NÚMERO IRRACIONAL, APROXIMADAMENTE 2,718281

É UM NÚMERO IRRACIONAL ENTÃO A DÍZIMA CONTINUA INFINITAMENTE, ELA DIZIMA INFINITA NÃO PERIÓDICA QUE É UM NÚMERO IRRACIONAL E ELE É UM NÚMERO IMPORTANTE PORQUE EM MUITOS FENÔMENOS NATURAIS UM NÚMERO QUE APARECE É O NÚMERO "E", ENTÃO QUANDO A GENTE OLHA DECAIMENTO RADIOATIVO, QUANDO A GENTE OLHA UMA SÉRIE DE FENÔMENOS QUE ESTÃO PRESENTES NA NATUREZA, O NÚMERO "E" ESTÁ PRESENTE AS RAZÕES PELAS QUAIS O "E" ESTÁ PRESENTE SÃO RAZÕES MUITO PROFUNDAS QUE NÓS VEREMOS AO LONGO DE DISCIPLINAS LÁ NO FUTURO, NÃO VAI SER NEM NESSA DISCIPLINA QUE VAMOS FALAR MUITO DISSO, MAS A GENTE VAI TER OPORTUNIDADE DE, NAS AULAS DE CÁLCULO, FOCAR MUITO EM CIMA DO NÚMERO "E" PORQUE ELE TEM PROPRIEDADES IMPORTANTES QUE EXPLICAM POR QUE ELE É TÃO PRESENTE NA NATUREZA, ENTÃO NÓS VAMOS TRABALHAR MUITO COM ESSE NÚMERO "E" E O LOGARITMO DE BASE "E" É CHAMADO LOGARITMO NATURAL OU LOGARITMO NEPERIANO, ELE É TÃO IMPORTANTE, TÃO PRESENTE QUE ELE TEM UM SÍMBOLO PRÓPRIO QUE É "LN" AI NEM ESCREVER A BASE, QUANDO VOCÊ NÃO ESCREVE A BASE É PORQUE É "E"

QUANDO VOCÊ ESCREVE UM LOG E NÃO PÕE A BASE O MAIS COMUM É QUE SEJA BASE 10, MAS HÁ UMA TENDÊNCIA DE QUE TODOS OS LOGARITMOS SEJA EM BASE "E", INCLUSIVE MUITOS LIVROS ESCREVEM LOG MESMO SEM BASE NENHUMA PARA INDICAR "LN", PARA INDICA LOG DE BASE "E" MESMO, MAS O MAIS COMUM É QUE O LOG DE BASE E APAREÇA ESCRITO COMO "LN" E É UMA BASE MUITO PRESENTE NA CIÊNCIA, VOLTAREMOS A ELE MAIS TARDE VOU DAR UM EXEMPLO CONCRETO PRA VOCÊS DE USO DE LOGARITMO EM UM ESTUDO CIENTÍFICO TECNOLÓGICO QUE É UM ESTUDO DE DA ESCALA RICHTER DE TERREMOTOS, TODO MUNDO JÁ OUVIU FALAR DA ESCALA RICHTER QUANDO A GENTE DÁ INFORMAÇÕES SOBRE A MAGNITUDE DE UM TERREMOTO É SEMPRE UM NÚMERO E É UM NÚMERO QUE ESTÁ DADO NA ESCALA RICHTER A ESCALA RICHTER É UMA ESCALA LOGARÍTMICA COMO EU VOU MOSTRAR PRA VOCÊS, O FATO DELA SER LOGARÍTMICA TEM CONSEQUÊNCIAS NA INTERPRETAÇÃO DOS RESULTADOS QUE APARECEM ENTÃO ESSA ESCALA FOI CRIADA UMA DÉCADA DE 30, EM TORNO DE 1930, POR ALGUNS CIENTISTAS DA ÉPOCA E ELA SERVE PARA MEDIR A INTENSIDADE OU A MAGNITUDE DE UM ABALO SÍSMICO DE UM TERREMOTO É PRECISO OBSERVAR TAMBÉM QUE O ATUALMENTE A ESCALA RICHTER PASSOU POR UMA SÉRIE DE APERFEIÇOAMENTOS QUE SÃO ASSIM EVOLUÇÕES NATURAIS EM CIMA DO QUE EU VOU MOSTRAR PRA VOCÊS, EU VOU MOSTRAR A ESCALA RICHTER NO SEU FUNDAMENTO INICIAL A INTENSIDADE DO TERREMOTO VOU CHAMAR DE "M" OU MAGNITUDE

A MAGNITUDE DE UM TERREMOTO É DADA UMA FÓRMULA QUE TEM LOGARITMO DE BASE 10 OLHA QUE INTERESSANTE OS GEÓLOGOS, OS CIENTISTAS QUANDO CRIARAM UMA MANEIRA DE QUANTIFICAR A INTENSIDADE DE UM TERREMOTO USAR UM LOGARITMO DE BASE 10, ELE É O LOGARITMO NA BASE 10 DESSE NÚMERO, NÚMERO "A" VEZES UM DELTA "T" AO O CUBO DIVIDIDO POR 1,62 QUE É UMA CONSTANTE PERMANENTE "A" É AMPLITUDE DAS ONDAS, É A AMPLITUDE DAS ONDAS, É A AMPLITUDE DA ONDA SÍSMICA MEDIDA EM MILÍMETROS, O QUANTO HOUVE DE OSCILAÇÃO NA TERRA, HOUVE DE OSCILAÇÃO NA TERRA, NAS COISAS QUE ESTÃO SE MEXENDO DELTA "T" É UM INTERVALO ENTRE A CHEGADA DAS ONDAS PRIMÁRIAS E SECUNDÁRIAS DENTRO DO TERREMOTO É UM CONCEITO BEM DE GEOLOGIA QUE ESTÁ SER PRECISADO PARA FICAR BEM CLARO

E "M" É A INTENSIDADE OU MAGNITUDE DO TERREMOTO, A ENERGIA LIBERADA PELO TERREMOTO E ESSENCIALMENTE A ENERGIA LIBERADA QUE CAUSA ESTRAGO, O QUE DERRUBA UM PRÉDIO É UMA ENERGIA QUE FOI LIBERADA PELO ABALO SÍSMICO O QUE CAUSA TSUNAMI, O QUE CAUSA ABALO NAS ESTRUTURAS QUE NÓS TEMOS DENTRO DE UM TERREMOTO É A ENERGIA QUE FOI LIBERADA O TERREMOTO LIBERA ENERGIA, ESSA ENERGIA SE ESPALHA PELOS OBJETOS COM CONSEQUÊNCIAS A ENERGIA DEPENDE DIRETAMENTE DO "A" E É "A" ELEVADO A 3 SOBRE 2, A AMPLITUDE VOU MOSTRAR 2, A AMPLITUDE

VOU MOSTRAR PRA VOCÊS O SEGUINTE, É BOM ESSA ESCALA SÓ É UTILIZADO ATÉ UMA CERTA MAGNITUDE QUE EM GERAL TÁ TORNO DE 8,9, MAS O QUE EU QUERO MOSTRAR PARA VOCÊS É O SEGUINTE: QUALQUER DIFERENÇA ENTRE DOIS TERREMOTOS CUJA MAGNITUDE SE DEFINIRAM DE UM PONTO? ENTÃO IMAGINE QUE VOCÊ OUVE ESSA NOTÍCIA, HOUVE UM TERREMOTO NUM PAÍS ONDE TEM TERREMOTOS QUE TEVE ESCALA MAGNITUDE 5 NA ESCALA RICHTER, UM TEMPO DEPOIS ALGUÉM DISSE QUE HOUVE UM TERREMOTO QUE TEVE MAGNITUDE 6 OU QUE TEVE MAGNITUDE 7 O QUE SIGNIFICA AUMENTAR UM PONTO NA MAGNITUDE DO TERREMOTO QUE OCORRE? NEM TODO MUNDO SE DÁ CONTA DE QUE AUMENTAR UM PONTO NA MAGNITUDE É AUMENTAR MUITO A LIBERAÇÃO DE ENERGIA E AUMENTAR MUITO A AMPLITUDE DAS ONDAS ENTÃO OLHA QUE COISA INTERESSANTE, COMO A GENTE PRECISA DOMINAR ESSES CONCEITOS PARA INTERPRETAR BEM O QUE OCORRE QUANDO A GENTE ESTÁ SENDO INFORMADO SOBRE UM ABALO SÍSMICO FAZER UMA CONTINHA PRA VOCÊS SUPONDO UMA MAGNITUDE DE 5 EM SEGUIDA VOCÊ POR SEIS E FAZER CONTA O QUE SIGNIFICA QUE A MAGNITUDE DO TERREMOTO FOI 5? QUE O LOG NA BASE 10 DO "A" DELTA "T" AO CUBO SOBRE 1,62 É 5, MAS ISSO SIGNIFICA QUE ESSE NÚMERO É IGUAL OU 10 ELEVADO A 5, LEMBRA QUE O LOGARITMO EXPOENTE É O QUAL VOCÊ LEVA BASE

ENTÃO AMPLITUDE DELTA "T" AO CUBO SOBRE 1,62 É 10 A QUINTA, 1,62 ESTÁ DIVIDINDO VAI MULTIPLICANDO, DELTA "T" AO CUBO PASSA DIVIDINDO, A AMPLITUDE É 10 A QUINTA, 1,62 SOBRE O DELTA "T" AO CUBO O QUE OCORRE SE A MAGNITUDE É 6? ABSOLUTAMENTE ANÁLOGO, O LOG NA BASE 10 DISSO TUDO É 6, 10 ELEVADO A 6 AQUI É IGUAL A ISSO, 1,62 PASSA MULTIPLICANDO, DELTA "T' AO CUBO PASSA DIVIDINDO E AMPLITUDE 10 A SEXTA, 1,62 DELTA "T" AO CUBO OBSERVA QUE 10 A QUINTA E 10 A SEXTA, O 10 A SEXTA É DEZ VEZES MAIOR QUE 10 A QUINTA, OU SEJA, SE AUMENTA UM PONTO NA ESCALA RICHTER A MAGNITUDE DE UM TERREMOTO É PORQUE A AMPLITUDE DAS ONDAS FOI AUMENTADA POR 10 E AMPLITUDE DAS ONDAS QUE MEDE A ENERGIA LIBERADA PORTANTO A ENERGIA LIBERADA FOI QUEM AUMENTOU, NA VERDADE, AUMENTO DE MAIS DE 10 O QUE ACONTECE SE A AMPLITUDE DAS ONDAS O QUE ACONTECE UM AUMENTO DE TRÊS PONTOS NA MAGNITUDE, QUANDO AUMENTA TRÊS PONTOS NA MAGNITUDE SIGNIFICA QUE AQUELA DIFERENÇA ALI QUE ERAM 10 A QUINTA E 10 A SEXTA VAI TER UM 10 A QUINTA E UM 10 A OITAVA É TRÊS ORDENS DE GRANDEZA MAIOR NA POTÊNCIA DE 10, QUER DIZER QUE AUMENTAR TRÊS PONTOS DA MAGNITUDE DE UM TERREMOTO SIGNIFICA AUMENTAR MIL VEZES A AMPLITUDE DAS ONDAS E PORTANTO MAIS DE MIL VEZES A ENERGIA LIBERADA E PORTANTO MAIS DE MIL VEZES O ESTRAGO O TERREMOTO QUE VALE 4 NA ESCALA RICHTER QUANDO VOCÊ COMPARA COM O DE ESCALA 5 QUE VALE CINCO E DEZ VEZES MAIS DESTRUTIVO O QUE VALE CINCO, O DE 4 COMPARADO QUANDO QUE VALE 6 É 100 VEZES MAIS E COMPARANDO O DE QUATRO COM O DE 4 E O DE 7 É MIL VEZES MAIS DESTRUTIVO QUE O DE QUATRO E POR QUE TUDO ISSO? PORQUE NA RAIZ DESTE CONCEITO TEM UMA ESCALA LOGARÍTMICA VOCÊS VÃO LIDAR COM MUITO COM LOGARITMO AO LONGO DA FORMAÇÃO DE VOCÊS FICAMOS POR AQUI HOJE

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História da Matemática – Aula 01A – Apresentação da disciplina (Parte I)

[MÚSICA] [MÚSICA] [MÚSICA] [MÚSICA] >> [FERNANDA] QUANDO VOCÊ PENSA EM MATEMÁTICA, O QUE VEM PRIMEIRO EM SUA CABEÇA? VOCÊ PROVAVELMENTE PENSOU EM NÚMEROS, CONTAS, MAIS CONTAS, TALVEZ ATÉ NÃO ODIADO O PROFESSOR DE MATEMÁTICA SE VOCÊ PENSOU EM NÚMEROS, VOCÊ ESTÁ CERTO! A MATEMÁTICA PODE SER CONSIDERADA A CIÊNCIA DOS NÚMEROS

[MÚSICA] >> [FERNANDA] MAS ELA É MUITO MAIS DO QUE ISSO, MUITO MAIS DO QUE UTILIZAR SÍMBOLOS PARA DESCREVER QUANTIDADES COMO, POR EXEMPLO, O NÚMERO DE CARROS QUE PASSARAM POR AQUI ENQUANTO EU GRAVO ESSA CENA [MÚSICA] >> [FERNANDA] OLHA EM VOLTA, ONDE MAIS USAMOS A MATEMÁTICA? [MÚSICA] >> [FERNANDA] OBSERVE AGORA ESSES DOIS PRÉDIOS, NÓS PODEMOS DIZER QUE O DA ESQUERDA É MAIOR DO QUE O DA DIREITA [MÚSICA] >> [FERNANDA] MAS O QUE SIGNIFICA SER MAIOR? VEJA ESSA BOLA, O QUE ELA LHE DIZ SOBRE A MATEMÁTICA? BOM, VOCÊ PODE ME DIZER QUE ELA É UMA ESFERA, MAS O QUE SIGNIFICA SER UMA ESFERA? O QUE A DIFERENCIA DO FORMATO DESTE LIVRO? VOCÊ PODE ME DIZER: BOM, ESTE LIVRO TEM LINHAS RETAS, CANTOS PONTIAGUDOS E ESSA BOLA NÃO ELA NÃO TEM LINHAS RETAS, NÃO TEM CANTOS PONTIAGUDOS SUA SUPERFÍCIE É UMA CURVA, MAS O QUE É UMA RETA? O QUE É UMA CURVA? A MATEMÁTICA DE HOJE VAI MUITO MAIS ALÉM DO QUE AS NOÇÕES ELEMENTARES DE NÚMERO, GRANDEZA E FORMA

[MÚSICA] [MÚSICA] >> [FERNANDA] COMO PASSAMOS DA CONTAGEM, A RESOLUÇÃO DE EQUAÇÕES COMPLEXAS, CÁLCULOS DE PROBABILIDADE, NOÇÕES DE INTEGRAL, DERIVADA E ATÉ MESMO O CONCEITO DE INFINITO COMO CONSTRUÍMOS TUDO O QUE NOS CERCA HOJE SUA CASA, O AVIÃO, O SISTEMA DE LOCALIZAÇÃO DO SEU CELULAR, A INTERNET ONDE A MATEMÁTICA ESTÁ? QUAIS SÃO AS LIGAÇÕES COM A ASTRONOMIA? O COMÉRCIO, A MÚSICA, A FÍSICA, A ESTATÍSTICA COM O CORPO HUMANO NESTA DISCIPLINA FAREMOS UMA VIAGEM PELA HISTÓRIA DA MATEMÁTICA VAMOS INICIAR PELOS PRINCIPAIS SISTEMAS DE NUMERAÇÃO DA ANTIGUIDADE: O EGÍPCIO, O BABILÔNICO, O GREGO E O SISTEMA INDO-ARÁBICO COMO ESSES POVOS ESCREVIAM OS SÍMBOLOS NUMÉRICOS? REALIZAVAM CÁLCULOS COMO MULTIPLICAÇÃO, DIVISÃO? COMO TECERAM AS BASES DA GEOMETRIA? E COMO SOLUCIONAVAM PROBLEMAS ALGÉBRICOS? QUAIS OS PROBLEMAS GREGOS QUE DEMORARAM QUASE DOIS MIL ANOS PARA SEREM SOLUCIONADOS? TAMBÉM VISITAREMOS OS GRANDES MATEMÁTICOS GREGOS COMO EUCLIDES E DIOFANTO EUDOXO E SEU MÉTODO DA EXAUSTÃO QUE FORNECERAM AS BASES PARA O CONCEITO DE LIMITE

APOLÔNIO E SUAS SEÇÕES CÔNICAS QUE HOJE POSSUEM GRANDE APLICAÇÃO NA ENGENHARIA DE TELECOMUNICAÇÕES COM AS ANTENAS PARABÓLICAS OU MESMO NA TECNOLOGIA DO ESPELHO HIPERBÓLICO DOS NOSSOS TELESCÓPIOS NOS SÉCULOS 8 E 9 VEREMOS COMO OS ÁRABES ESTABELECERAM AS BASES DA ÁLGEBRA E AJUDARAM A DIFUNDIR O SISTEMA DE NUMERAÇÃO UTILIZADO HOJE JÁ NO SÉCULO 16, VAMOS VER COMO FORAM RESOLVIDAS AS EQUAÇÕES DE TERCEIRO GRAU POR CARDANO E COMO BOMBELLI RESOLVEU O PROBLEMA DA EXTRAÇÃO DA RAIZ QUADRADA DE NÚMEROS NEGATIVOS GRANDES HOMENS COMO DESCARTES, FERMAT E PASCAL TAMBÉM DERAM SUA CONTRIBUIÇÃO NO DESENVOLVIMENTO DA MATEMÁTICA VAMOS CONHECER O TEOREMA DE FERMAT QUE INTRIGOU OS MATEMÁTICOS DURANTE SÉCULOS E SÓ FOI PROVADO RECENTEMENTE NA DÉCADA DE 90

COMO OS JOGOS DE AZAR AJUDARAM A TECER AS BASES DA ESTATÍSTICA NO DESENVOLVIMENTO DO QUE CHAMAMOS DE CÁLCULO DAS PROBABILIDADES COMO NEWTON E LEIBNIZ DESENVOLVERAM AS BASES DO CÁLCULO DIFERENCIAL INTEGRAL AO IDENTIFICAR A SUCESSÃO ENTRE DOIS PROBLEMAS TUDO ISSO VOCÊ VERÁ AQUI EM HISTÓRIA DA MATEMÁTICA [MÚSICA] [MÚSICA] [MÚSICA] [MÚSICA] [MÚSICA] [MÚSICA] [MÚSICA] [MÚSICA] [MÚSICA] [MÚSICA] [MÚSICA] [MÚSICA]

RESOLVENDO MATEMÁTICA DO ENEM 2018 – PARTE 2 | Lucas Felpi

Oi pessoal, bom dia, boa tarde e boa noite pra quem estiver assistindo, meu nome é Lucas Felpi, se você não me conhece esse daqui é meu canal Hoje vou fazer a parte 2 da sequência de vídeos que eu comecei no outro vídeo de matemática, resolvendo as questões do Enem 2018 de matemática

Na parte 1 desse vídeo, que eu vou deixar aqui no card errei o card? Na parte 1 dessa série de vídeos que eu vou deixar aqui no card, e no link da descrição também, eu comecei a resolver as questões, eu fiz as nove primeiras, e agora vou fazer as próximas nove Naquele vídeo eu fiz da 136 até a 144 do caderno rosa e nesse vídeo daqui eu vou fazer da 145 até a 153

Então se você não tá com o caderno rosa, também vai ficar aqui na descrição a correlação entre as questões do caderno rosa com as outras cores de caderno Então sem mais delongas vamos pro vídeo, porque não vou dar as instruções de novo aqui, as instruções estão no outro vídeo sobre como estou fazendo esse estilo de vídeo, pra ir rapidinho e poder resolver todas pra vocês Na questão 145, ele diz que tem uma pessoa que colocou numa caixa vários cartões de questões de vários níveis: fácil médio e difícil Ele colocou no começo 20 cartões sendo que 25% eram fáceis A primeira coisa que você tem que fazer é calcular quantas já tinham de fáceis, antes dele fazer qualquer alteração ou qualquer coisa que ele pede ali

Tinham cinco fáceis das 20, e depois ele quer acrescentar mais perguntas fáceis na caixa para que a probabilidade de alguém tirar uma questão ali e ser fácil é de 75% O que isso significa? Significa que, a cada 4 questões, 3 tem que ser fáceis, porque 75% equivale a 3/4: 75/100 = 3/4, é só simplificar Sendo assim é só montar uma equação Você tem que lembrar a fórmula de probabilidade: probabilidade você calcula colocando o número de possibilidades favoráveis em cima sobre o número de possibilidades totais O que é favorável nesse caso? Pegar uma questão fácil

E o total é o número de questões que têm na caixa no total O que eu montei foi 5 + x (chamei de x o número de perguntas fáceis que ele vai acrescentar na caixa) sobre 20 + x, é igual a 3/4 Um erro muito comum é achar que tem 20 questões no total e colocar 5 + x sobre 20, só que quando ele acrescentou x questões fáceis, ele acrescentou tanto no número de questões fáceis, quanto no número de questões totais Então a probabilidade vira 5 + x sobre 20 + x, isso vai ser igual a 3/4 Resolvendo a equação dá que x é 40, alternativa D

Essa questão era uma questão de matriz, tinha que saber basicamente o que é i e o que é j dentro de uma matriz Ele diz que o elemento aij é o valor em milhões de reais de uma transferência do banco i pro banco j O que isso quer dizer? Você tem que lembrar que i é o valor da linha da matriz e j o valor da coluna da matriz, então é a transferência do banco da linha pro banco da coluna Significa que quando você pegar um valor ali no meio, por exemplo, pega o valor a23, quer dizer que o valor está na linha 2 na coluna 3 Esse valor ali tá 2, ou seja, dois milhões de reais foram transferidos do banco 2 (do banco da linha) para o banco 3 (que é o banco da coluna), ou seja o banco da linha é o que dá e o banco da coluna é o banco que recebe

Isso explica porque a diagonal está toda cheia de zeros, porque não dá pra você transferir de um banco para ele mesmo, então os valores a11, a22, a33, não existem, porque são todos 0 E a pergunta é qual é o banco que mais transferiu dinheiro, mais deu dinheiro A gente tem que lembrar que os bancos que dão dinheiro são os da linha, então quando você vê numa linha, é todo o dinheiro que um banco deu pra outros, das colunas, por isso que eu anotei ali do lado da matriz os números 1, 2, 3, 4, 5, para mostrar que a linha 1 era todo o dinheiro que o banco 1 deu para outros bancos, o da linha 2 era todo dinheiro que o banco 2 deu pra outros bancos, assim por diante, e fui somando na horizontal E aí somando de cada linha, deu que o 1 era o que tinha maior valor, então alternativa A A questão 147 era uma questão de logaritmo, essa foi uma das questões que eu errei

Podem falar que vocês acertaram, podem esnobar, eu errei essa questão, porque eu sabia que era uma questão difícil Quando vem log, eu já falo "é difícil", porque as pessoas erram, as pessoas têm dificuldade com essa matéria, então as pessoas erram normalmente uma questão que tem um log Então eu pulei e deixei pra depois e depois não sobrou muito tempo pra resolver, não sabia resolver, chutei Eu acertei outras questões por ter pulado essa, mas vou colocar aqui a resolução que eu fiz dessa questão Ele disse que tem um empréstimo que cada parcela é fixa de 820 reais, mas se você antecipar parcelas futuras, você consegue um desconto nessas parcelas, e ele te deu a fórmula: V é o valor futuro da parcela, que vai ser sempre 820, porque, como a gente falou, a parcela é fixa de 820, e P é o valor presente que você consegue ter se você antecipar n meses

Uma pessoa vai pagar a 30ª parcela, a parcela número 30, com uma outra futura, mas que ele quer desconto naquela parcela futura que ele vai pagar, ele quer um desconto maior do que 25% A primeira coisa que eu fiz foi manipular a fórmula para conseguir deixar tudo de um lado só da igualdade, e deixar o P sozinho, então foi isso que eu fiz: P = V/(1+i)ˆn Eu sei que o V vale 820, que é o valor fixo da parcela para sempre no futuro, e i é 0,0132 (cuidado porque tá por cento: não é 1,32, é 0,0132, é dividido por 100) e esse é o valor presente daquela parcela adiantada n meses Agora, como você vai saber quantos meses vai ter que ter pra você conseguir o desconto? Ele quer que esse valor P presente dê um desconto maior que 25% no valor original de 820, então se ele quer um desconto de mais de 25%, ele quer que o valor seja menor do que 75% de 820 Só que, em vez de fazer por inequação, eu prefiro fazer por equação normal, colocar = porque confunde menos a sua cabeça e depois você aproximar para o que você precisa, para mais ou para menos E aí você ficou com essa equação, você resolve, fica lá com 4/3 = (1,0132)ˆn, e aí você vai pôr ln dos dois lados, porque ele te deu ln de 4/3 e ln de 1,0132, então você sabe que você tem que usar ln, você coloca dos dois lados e vai conseguir substituir, e depois de substituir, você vai encontrar o valor de n que é aproximadamente 21,96

Mas ele quer um desconto maior do que 25%, então vai precisar de mais tempo Em vez desse valor quebrado, você vai ter que aproximar pra cima, arredondando para um número inteiro maior, que vai ser 22 E se ele está pagando a 30ª parcela, que é a parcela 30, ele vai pagar junto com aquela de 22 meses à frente, que é a número 52, alternativa C A questão 148 envolvia um jogo em que os alunos tinham que dar ou uma equação de reta ou uma equação de circunferência, que passasse pela origem e por pontos dados no plano cartesiano: quanto mais pontos diferentes da origem eles atingissem com a reta ou com a circunferência deles, mais pontos eles ganhavam para o jogo E agora ele pergunta qual é a equação que vai dar mais pontos para o aluno

O que eu fiz foi testar por alternativa, então vamos lá A alternativa A, de x = 0, isso não é nem uma equação de reta, não tem y ali, não tem como você montar um gráfico com isso A alternativa B diz y = 0, a equação da reta y = 0 dá uma reta constante, que, em todos os valores de x, y é 0, então quer dizer que vai passar pelo C (y = 0, x = 4), vai ganhar então 1 ponto essa equação As alternativas C, D e E são equações de circunferência, e para isso a gente vai ter que lembrar como é uma questão de circunferência reduzida, principalmente Numa equação reduzida de circunferência, você tem que lembrar que os valores do centro da circunferência são dados e o raio é dado ali no meio, estão escondidos

Então quer dizer que: o valor de x ao quadrado, vai estar (x – a) ao quadrado – esse a é o valor x do centro de circunferência -, e no y ao quadrado vai estar (y – b) ao quadrado – esse b é o valor y do centro da circunferência E, depois do = da equação, vai ter um valor que é o r ao quadrado Vem comigo, um por um Na C, x ao quadrado e y ao quadrado: quer dizer que não tem nada subtraindo nem do x, nem do y – o a e o b são 0, então quer dizer que o centro da circunferência é (0,0), o centro da circunferência é a própria origem do plano cartesiano E qual é o raio? É a raiz de 16, porque 16 é r ao quadrado, então o raio é a raiz de 16, é 4

Agora vai lá: se o centro da circunferência tá aqui na origem, e o raio da circunferência é 4, quer dizer que a circunferência vai passar pelo C e vai passar pelo A, então vai ganhar 2 pontos cada, vão ganhar quatro pontos A alternativa D, o centro da circunferência vai estar no ponto (x = 0, y = 2), no ponto E, e o raio da circunferência vai ser a raiz de 4, vai ser 2 Então montando a circunferência, vai ser: centro no E, raio 2, vai passar pela origem (mas não ganha ponto), vai passar pelo D e vai passar pelo A Então quer dizer que vai ganhar 2 pontos em cada ponto que passou, 4 pontos E a alternativa E, ela é mais complicada

Ela tem o centro (2,2) – porque o x está subtraído de 2 e o y está subtraído de 2, então o centro da circunferência é esse ponto D aqui, e o raio da circunferência vai ser a raiz de 8 Raíz de 8 é raíz de 4 2, então é 2 raiz de 2 Como você vai saber aonde tem raio 2 raíz de 2? Qual essa medida, já que tem raíz? Pega esse quadrado que tem aqui embaixo do centro de conferência, embaixo do D, ele tem lado 2 (arestas 2) Qual é a diagonal de um quadrado? É a aresta raiz de 2, então quer dizer que essa diagonal do quadrado aqui vale 2 raiz de 2, então dizer que esse é o raio da circunferência, a diagonal de um quadrado 2

E então quer dizer que essa circunferência vai passar por C, B, A e a origem, vai passar por três pontos diferentes da origem, vai dar 6 pontos, alternativa E A questão 149 pede o menor caminho pra ir de B até A, passando ou por semirretas ou por arcos de circunferência, só que eu por exemplo não sabia qual ia ser o menor caminho, eu não sabia se ia ser menor fazer: duas semirretas, um arco tal, outro tantas semirretas, eu não sabia exatamente isso, então o que eu fiz foi testar por alternativa também, que nem a última questão Primeiro, eu vi se todas as alternativas seriam válidas, se todas são um caminho coerente e que poderia ser possível de se realizar para essa questão A alternativa A representa o caminho que você faz 3 semirretas, arco de circunferência raio 1, e 5 semirretas até o A A alternativa B representa um caminho de duas semirretas, um arco de circunferência raio 2, e depois 4 semirretas até o A, e assim por diante, todas representam um caminho possível nesse sentido, diminuindo o número de semirretas e aumentando o raio da circunferência

Então quer dizer que todos são caminhos possíveis – agora qual é o menor? Você só vai descobrir qual é o menor se você substituir pi pelo valor que ele te deu Ele disse que pi vai ser aproximado para uma casa decimal, então vai ser 3,1, eu substituí pi por 3,1 em cada alternativa, e descobri que o menor caminho seria o caminho A A questão 150 se trata de cinco diferentes caixas, que são formatos de paralelepípedo, em que vão ser colocados cilindros, e ele deu as medidas das caixas e a medida de um cilindro Você tem que descobrir qual é a caixa que vai caber mais cilindros O que eu fiz foi analisar por dimensão, ou seja, o cumprimento da caixa vai representar quantos cilindros cabem na horizontal, cabem pelos diâmetros

Então por exemplo vamos pegar a caixa 1, se ela tem comprimento 8 cm, quer dizer que vão caber 2 cilindros na horizontal Eu basicamente dividi o cumprimento pelo diâmetro A largura também é de 8 cm, então quer dizer que na largura da caixa também vão caber 2 cilindros, então na base vão caber 2 e 2, vão saber quatro cilindros na base (or isso que eu pus esse = 4) E na altura, são 40 cm de altura, dividido por 6 (que é a altura de um cilindro) vai dar, inteiros, 6 cilindros 4 cilindros na base vezes 6, porque vão ser 6 níveis dentro daquela caixa: 24 cilindros na caixa 1, e assim por diante

Eu fui dividindo o comprimento e a largura pelo diâmetro do cilindro, que era 4, e dividindo a altura da caixa pela altura do cilindro, que era 6 E aí depois vendo quantos cilindros no total iam caber, porque você descobre quantos cabem na base da caixa e depois quantos cabem na altura da caixa Depois de fazer tudo isso, eu descobri que a caixa 4 era a que cabia mais cilindros cilindros, cabiam 30 cilindros, coloquei alternativa D A questão 151 era uma questão de PA, ele disse que a prefeitura quer colocar postes de iluminação partindo de uma praça O primeiro poste vai estar a 80 m da praça e o último poste vai estar a 1380 m da praça, e vão ser colocados de 20 em 20 m, então vai estar o primeiro a 80 m da praça, depois a 100 m da praça, 120 m, e assim por diante

Isso é uma PA, em que o primeiro termo é 80, o último termo é 1380, e o r é 20 O que ele quer é saber qual vai ser o custo de fazer tudo isso, sendo que cada poste vai custar 8 mil reais no máximo Para você saber o custo total você tem que saber o número de postes que foram colocados, e isso você descobre pela fórmula do termo geral da PA, a fórmula do termo geral da PA pede: o a1 (o primeiro termo), o an (o último termo), o r e o número de termo Você tem três dessas informações, você quer a quarta: é só substituir na fórmula do termo geral, e foi isso que eu fiz: logo de cara descobrir que o n era 66 Sabendo que vão ser colocados 66 postes e cada um vai custar no máximo 8 mil reais, multiplica 8 mil por 66 vai dar 528 mil reais, alternativa C

A questão 152, gente, eu espero que vocês tenham acertado, porque era uma questão fácil, bem fácil mesmo, assim, não exigia quase nada de conta Se você ver pelo meu raciocínio, tem 1 linha de conta O que acontece: ele de um gráfico e ele diz que a variação de 2013 e 2015 foi linear, ele quer o dado de 2014 O que você pode ver? De 2013 até 2015 diminuiu 8%, se isso foi constante com o tempo, até 2014, que a metade de todo o tempo, vai ter diminuído 4%, então se era 67% em 2013, em 2014 vai ser 63%, alternativa B, 63% E por último, a questão 153 ela falava de escala

Você tem um barco com um guindaste de 15 m de altura e uma esteira de 90 m de comprimento e você quer fazer uma representação menor desse barco com uma escala Ele quer saber qual vai ser essa escala Primeiro vamos pensar na esteira: a esteira, que é de 90 m, tem que ser representada em mais de 4 cm, então eu fiz uma regra de três Primeiro, 4 cm está para 9000 cm, e 1 cm está para x Lembra que a escala é sempre você pegar 1 cm da representação para quantos cm vão ser na vida real, e então descobri que esse valor seria 2

250, só que eu não fiquei tão confiante para saber se ia tem que ser menor do que 2250 ou maior do que o 2250, então eu fiz um teste Eu gosto de fazer esses testes para confirmar: ele pediu que o valor fosse maior do que 4 cm, então eu pensei "Quanto que vai ser a escala se eu fizer um valor maior de 4 cm? Se eu fizer um valor como 5 cm?" Então eu fiz uma regra de três: essa escala de 1800, então quer dizer que ia ter que ser um valor menor do que 2250, para dar a escala que ele pediu Assim eu fui testar a outra informação que ele deu, que o guindaste tem que estar entre 0,5 cm e 1 cm na representação Pegando o valor máximo que ele deu pra esse guindaste, que é 1 cm de altura, a escala é fácil: 1 cm na representação para 1500 cm na vida real

Essa é a escala máxima, só que aí também eu queria perceber se ia ter que ser um valor maior ou menor do que 1500 pra abaixar a representação, já que eu quero que o guindaste tenha menos que 1 cm, até chegar em 0,5 Então tentei aumentar a escala, eu tentei colocar 1 cm pra 1600 cm, e x cm para 1500 cm, pra ver quanto daria para 1500, se você aumentasse a escala, aumentasse esse número E aí, fazendo a conta, deu 0,75, então quer dizer que sim, se você aumentar a escala de 1500, vai dar um número menor do que 1 cm, então isso quer dizer que o valor x que é o valor na vida real para 1 cm na representação, vai ter que ser maior do que 1500 (para atender os critérios do guindaste) e menor do que 2250 (para atender os critérios da esteira) Alternativa C Bom gente, eu fico aqui por hoje, essa foi a segunda parte da nossa sequência de vídeos resolvendo matemática do Enem 2018

Eu espero que vocês tenham gostado Se vocês gostaram, deixa o like aqui; se não gostou, deixa o deslike também, para saber que foi ruim Se vocês não entenderam alguma questão, ficou uma dúvida, comenta aqui que eu posso tentar ir respondendo E até a parte 3! Até lá! Obrigado!

RESOLVENDO MATEMÁTICA DO ENEM 2018 – PARTE 1 | Lucas Felpi

Oi pessoal, bom dia, boa tarde e boa noite pra quem estiver assistindo! Meu nome é Lucas Felpi e se você não me conhece esse daqui é o meu canal Hoje vou falar sobre um vídeo foi muito pedido por vocês, que é resolvendo a prova de matemática do Enem 2018, porque eu fiz o outro vídeo, falando mais ou menos como eu tirei 988,7, é um vídeo que deixar aqui no card, pra que se você não assistiu, você ir lá, clicar e assistir

São dicas gerais, sobre a prova, sobre resolução de prova que eu tive, as táticas que eu criei, as estratégias que eu imaginei que foram melhores pra mim para chegar nesse resultado Mas eu sei que é muito importante falar sobre conteúdo específico, sobre como eu resolvi a prova, quais foram as maneiras que eu resolvi as questões e consegui acertar tantas questões, né Então vou começar hoje uma sequência de cinco vídeos resolvendo todas as questões de matemática do Enem 2018, mostrando como eu realmente fiz, mostrando inclusive o raciocínio que eu escrevi na hora da prova, lá no caderno, trazendo pra vocês umas táticas diferentes Meu caderno de questões é o caderno rosa, que nem eu falei no outro vídeo e eu vou me guiar por ele, pela ordem de questões dele, mas se você está usando outro caderno, outra cor de prova, eu vou deixar aqui na descrição a correlação entre as questões do caderno rosa e de outros cadernos e também a marcação de tempo de cada questão ao longo do vídeo, pra você poder pular pra questão que você quiser também Então, sem mais delongas, vamos começar o vídeo

Ah, e outra coisa, é verdade, relevem que tem uma ferida na minha boca, mas aí vocês focam no conteúdo porque eu sei que eu estou feio Para não perder muito tempo, vão ser resoluções um pouco mais rápidas, mostrando o raciocínio que eu fiz rapidamente e não lendo os enunciados: eu vou colocar o enunciado aqui na tela cheia, se você não conhece a questão, você pausa, lê o enunciado com calma e aí você consegue acompanhar a resolução E se você acha que eu tô falando um pouco rápido, é porque são nove questões no vídeo inteiro, então eu quero ir um pouco rápido, mas se você tiver alguma dificuldade para entender, põe a velocidade um pouco menor no vídeo Vai naquele botão de configurações e coloca velocidade um pouco menor, pode ser que funcione também às vezes A primeira questão é uma questão que envolvia um gráfico e ele te dava três pontos, que representavam três satélites

Cada satélite tinha um par de coordenadas, que representava, na horizontal, a massa, ou seja, o valor x, de abscissa, a massa do satélite, e o valor na vertical, y, a ordenada, o raio do satélite E a gente sabe pela fórmula que foi dada, da força gravitacional, que o raio é ao quadrado e está dividindo, e a massa tem um expoente 1, está elevada a 1, e está multiplicando Mas aí você ficar aquela dúvida de: como eu vou saber qual tem força maior, sendo que o B tem uma massa grande, mas o C tem um raio grande, e você não sabe a diferença O que eu fiz foi aproximar para encontrar números e poder fazer cálculos realmente Então o que eu pensei foi: eu usei o A como referência, chamei a massa dele de m1 e o raio dele de r1

E aí eu vi que o espaçamento entre o m1 e o 0 dava mais ou menos mais 4 vezes até o B, então eu chamei a massa do A de m1 e a massa do B de 5m1 Você consegue ver que tem cinco espaçinhos iguais ao do m1 até chegar no B E a mesma coisa com o C: o espaçamento entre o r1 e o 0 cabia mais 2 vezes aproximadamente até o C, então o C tinha aproximadamente 3r1, e aí eu substituí na fórmula da força gravitacional para cada um, ou seja, o A tinha força k

m1/r1ˆ2 e usei essa fórmula como referência, a força de A foi a minha referência A força de B era k5m1/r1ˆ2, ou seja, era 5 vezes a força de A, e a força C era km1/9

r1ˆ2 Toma cuidado porque o 3 também é elevado ao quadrado quando você substitui ali na fórmula, então fica 9r1ˆ2, e aí fica força de A dividida por 9, e aí você sabe que, então, a força B é a maior (porque ela é 5 vezes a força de A), a força de A é a intermediária, e o C é o menor (porque é a força de A dividida por 9) e essa fica a ordem certa: letra E A questão 137 envolvia uma forma de porcentagem, só que não era por 100, era por 1000 Ele te explicava como funcionava a prata 925, 950 e 975, que são os números representativos dessa "porcentagem" por 1000, então quer dizer que, na prata 925, tem 925 partes de prata pura em cada 1000 partos (e as outras 75 partes são de cobre)

E aí ele te dá uma situação: ele tem o antes e o depois, e foi exatamente isso que eu analisei Ele diz que antes o ourives tem 10 gramas de prata 925 e ele quer 40 gramas de prata 950 Aí parece que é muito difícil, parece que é uma confusão, porque você tem que pensar em todas as partes que já tinha de prata pura e as partes de cobre, e depois quando vai ter Então, organizando isso, fica muito mais fácil você pensar isoladamente no antes e no depois, e foi isso que eu fiz Eu escrevi ali "agora" (que seria o antes) e aí escrevi que, nesse agora, nesse antes, tinha 10 gramas de prata 925 ou seja 10 gramas 925/1000 de prata pura, porque, em cada mil partes, tem 925 partes de prata pura Eu usei essa forma de fração para multiplicar, mas você podia fazer por regra de três também se for mais confortável Você escreve que 925 está para 1000, assim como 10 gramas está para x, e vai dar no mesmo resultado, que é 9,25 gramas de prata

E então, quando tinha de cobre? 0,85 gramas, para completar 10 gramas no total Você descobre quanto tinha antes já de prata pura e de cobr, e esses são os seus recursos disponíveis, isso é que o ourives já tinha, e ele vai querer misturar com mais para chegar no que tem depois E agora o que vai ter que ter depois? O que ele quer depois? Ele quer 40 gramas de prata 950, ou seja, 40 gramas 950/1000 (mesma coisa, se quiser fazer regra de três funciona, porque, em cada 1000 partes, 950 partes são de prata pura) e descobri que vai ter que ter no final 38 gramas de prata pura, e então 2 gramas de cobre E aí você compara o antes e o depois: se antes você tinha 0,75 gramas de cobre e você quer chegar em 2 gramas de cobre, você vai ter que adicionar 1,25 grama de cobre

Mesma coisa com prata: você tinha 9,25 gramas e você quer chegar em 38 gramas, vai ter que acionar 28,75 gramas Alternativa B A questão 138 envolvia uma multiplicação bem simples Ele te dava os valores de cada máquina de raio x, com o tempo que cada máquina gasta com cada passageiro, e quantos passageiros têm na fila Ele quer saber qual é a máquina que vai demorar menos para um passageiro que entrou agora na fila conseguir fazer o raio-x É só multiplicar: a máquina 1, por exemplo, tem cinco pessoas na fila e a máquina demora 35 segundos por pessoa, ou seja, vai demorar 175 segundos para aquela pessoa conseguir chegar no raio-x

E calculando (como vocês vêem, eu escrevi logo embaixo a multiplicação), era só ver qual dava o melhor produto, dava alternativa B, máquina 2, 150 segundos Essa questão era uma questão de média ponderada Você tem que lembrar que em média ponderada você tem que fazer: o valor, vezes a frequência com que aquele valor encontrado, para todos os valores, e depois dividido pelo total da frequência (pelo total de frequência que você está analisando) Ou seja, se são 100 funcionários, você vai dividir tudo por 100 Eu fiz essa média de uma forma rápida, multiplicando os valores de cada fileira, somando, e depois dividindo por 100

Então, eu fiz 0: o valor zero foi encontrado 50 vezes, 50 funcionários não tiveram nenhum acidente Ou seja, multiplicando dá 0 17 funcionários tiveram valor 1 de acidentes (tiveram um acidente só), então você multiplica dá 17 15 funcionários tiveram 2 acidentes (então o valor 2 foi encontrado 15 vezes, a frequência é 15), multiplica dá 30 Fiz isso para cada fileira, somei e deu 111

E aí dividi por 100: 1,11 (porque 100 era o total de funcionários) A questão 140 era uma questão de mais orientação espacial e de ângulos Você tinha que interpretar o enunciado, e seguir o passo a passo que ele te dá com calma e organização Como que eu me organizei?Eu tenho muita confusão com sentido horário e anti-horário, então eu escrevi logo ali em cima, pra eu ter essa referência, qual é o sentido horário e qual é o sentido anti-horário E aí eu fui marcando com números o passo a passo que que foi dado

Primeiro, ele diz que a câmera de vigilância tava no sentido oeste, então eu escrevi o número 1 ali no oeste Depois, ele disse que a câmera se mexeu 135 graus no sentido anti-horário Eu vejo lá em cima: sentido anti-horário é pra cá Eu sei que 135 graus é (90 + 45) graus, então eu sei que aqui vai dar 90, mais 45 graus, vai dar aqui no sudeste, número 2, já coloquei direto Esse foi fácil porque já estava marcado exatamente onde é 90 graus e 45 graus

Agora vai vir que não está marcado: ele diz 60 graus no sentido horário Como que eu vou saber onde tem 60 graus para eu mexer no sentido horário, pra cá? Eu sei que dentro do 45 graus tem 3 vezes 15 graus, então eu peguei esse espaço, que é de 45, e dividi em 3 (fiz duas marcações pra dividir em três) e eu sei que agora esses espacinhos são de 15 graus E aí ele pediu 60 graus no sentido horário: 60 é 4 15, ou seja, vou ter que usar quatro espacinhos de 15 para o sentido horário Então eu fui 1, 2, 3, 4, parou aqui no número 3

E, por último, ele diz que ele quer 45 graus no sentido anti-horário, ou seja, pra cá Eu vou ter que andar 45 graus, 3 passinhos de 15 1, 2, 3, aqui, número 4, é onde a câmera parou E a pergunta é: qual o menor caminho que ela pode fazer, em graus, em um ângulo, para chegar no noroeste? Eu sei que, se ele fosse por aqui, ele percorre um caminho maior do por aqui, então eu sei que esse é o menor caminho E quantos graus vai ter nesse caminho? Vão ser: aqui tem 1, 2, ou seja, 30 graus (2 espacinhos de 15 dão 30 graus), mais 90 fica 120 graus, mais 45 fica 165 graus, pro sentido horário

165 graus no sentido horário – E A questão 141 era sobre tabelas Você tinha que saber relacionar as duas tabelas para fazer a classificação que ele pediu Ele deu que são 25 juízes que fazem rankings com os competidores, e ele te deu quatro tipos de rankings, e a frequência com que cada ranking foi encontrado Ele fala também que a pontuação de cada pessoa varia com a posição que ela se encontra: quando a pessoa fica em primeiro no ranking, ela ganha 5 pontos; quando ela fica em segundo, ela ganha 4 pontos; e assim por diante

Eu escrevi até ali do lado, na colocação, na tabela, para eu não me perder e poder ter essa informação mais rápida visualmente Isso é muito bom Então eu me organizei ali embaixo, no espaço embaixo da questão: eu escrevi o nome de cada um, e fui fazendo a conta para cada um dos competidores Pra mim foi o necessário, e eu consegui me organizar bem nesse sentido O que eu fui fazendo? Vamos pegar, por exemplo, a Ana: a Ana ficou em primeiro no ranking 1, ou seja, cada vez que o ranking 1 apareceu, ela ganhou 5 pontos

O ranking 1 teve frequência 4, ou seja, ela ganhou 5 pontos 4 vezes Multiplica 5 vezes 4, ela vai ter uma pontuação já de 20 pontos nesse ranking No segundo ranking, ela ficou em quarto, ela ganhou 2 pontos para cada vez que o ranking apareceu O ranking apareceu 9 vezes, então ela ganhou 2 9 pontos: 18 pontos

No terceiro ranking, ela ficou em segundo, ganhou 4 pontos para cada vez que apareceu: apareceu 7 vezes (de acordo com a segunda tabela), você vai fazer 4 7, 28 pontos, e assim por diante, para cada um dos competidores Eu descobri que a Ana ficou com 86 pontos no total, e aí eu fui fazendo de cada um dos outros, e vendo qual ficou com maior pontuação, que foi a própria Ana, então a alternativa é E A questão 142 era uma questão de interpretação de enunciado e que você tinha que anotar exatamente o caminho que foi dado para você, e encontrar uma coisa que estava ali no meio, você tinha que usar seu raciocínio lógico Então ele te deu o caminho que o elevador fez, quantos andares ele subiu e desceu em cada passo

Ele não te deu onde elevador começou, mas ele te deu onde o elevador terminou, então o que eu fiz foi: anotar esses dados, de uma forma simbólica, quais os movimentos que o elevador fez, subindo e descendo, e fazer o caminho reverso, porque ele disse que no meio do caminho (tinha uma pedra hahaha) No meio do caminho, o elevador encontrou o último andar do prédio, então você tem que descobrir qual foi o maior andar que o elevador chegou

Então se ele disse que o elevador parou no 5o andar, mas ele tinha descido 4, então quer dizer que ele estava antes no 9o Ee ele estava no 9o, mas ele tinha subido 9 antes, então quer dizer que ele estava no térreo Se ele estava no térreo, mas ele tinha descido 13 andares, quer dizer que ele estava no 13º Se ele estava no 13º, mas ele tinha descido 10 andares, então quer dizer que ele estava no 23º Já está um número bem alto aí

E se ele estava no 23º mas tinha subido 7, então quer dizer que ele estava em um menor, eu nem anotar qual foi, porque já percebi que o maior era o 23º, porque já que ele tinha subido 7 antes, o 23º é o maior andar que o elevador chegou e o último andar do prédio Essa questão é uma questão de análise combinatória Você tinha que pensar qual é o modo para resolver esse problema, descobrir o número de possibilidades possíveis, sem realmente fazer a conta, mas descobrir se era por combinação, por arranjo, qual que ia dar o resultado certo Eu anotei ali embaixo as informações, ou seja, são 4 carros e 6 caminhonetes para você escolher 2 de cada e colocar em 2 estandes, cada estande tem 1 carro e 1 caminhonete É importante em questão de análise combinatória você descobrir se é combinação ou arranjo

Como você sabe disso? Você tem que ver se importa a ordem ou não Importa a ordem que os fatores são escolhidos? Se importar, é a arranjo Se não importar é combinação Ele diz no meio do enunciado que a posição dos carros dentro de cada estande é irrelevante

Isso é uma pegadinha, porque parece que não importa a ordem em que você escolher, mas, na verdade, ele está dizendo que dentro de um determinado estande, que tem 1 carro e 1 caminhonete, não importa se você colocar carro- caminhonete ou caminhonete-carro, é a mesma coisa, não importa ordem entre carro e caminhonete para um estande Mas agora pensa na ordem de você escolher, pensa em carros: você tem dois estandes, você vai escolher entre 4 carros, 2 para entrarem nesses estandes Você vai escolher 2 para entrarem nesses estandes Se você escolher o carro amarelo primeiro, ele vai para esse estande, e se escolher o carro vermelho depois, ele vai para esse estande outro Se você trocar a ordem: escolher primeiro o vermelho e depois amarelo, o vermelho vai pra esse estande e o vermelho vai pra esse estande e o amarelo vai pra esse estande

Então quer dizer que importa, sim, a ordem que você escolher, porque você escolher primeiro um, depois o outro, define para qual estande cada um vai, e isso faz diferença Então, sim, importa a ordem que você escolher, e é arranjo Então a alternativa certa seria arranjo de 4, 2 e arranjo de 6, 2, multiplicados Mas não tem essa alternativa Eu olhei, falei "Não tem essa alternativa, o que eu faço? Vou ver as outras, porque alguma tem que chegar lá

Esse é o resultado certo, mas alguma tem que chegar nesse resultado Era uma pegadinha, a alternativa C é exatamente isso que a gente falou: essa combinação de 4, 2 e combinação de 6, 2 vezes 2 vezes 2, equivale à mesma coisa que arranjo de 4, 2, arranjo de 6, 2 Como eu sei disso? Vem comigo Vamos analisar fórmulas de combinação e de arranjo: a fórmula de combinação é n!/(n-p)! p!, e a fórmula de arranjo é n!/(n-p)!

A única diferença entre as duas é o p! que divide na combinação Então, o que acontece quando você multiplica uma combinação como essa por 2? Pensa que nessa combinação 4, 2 e e 6, 2, o p é 2 (2! é 2), então quando você multiplica uma combinação 2 a 2 por 2, você está anulando esse p, você está cortando esses 2, e vai dar o arranjo, vai dar a fórmula de arranjo exatamente Olha aqui o que escrevi: eu coloquei exatamente isso, você vai ficar com 4!/2! e 6!/4!, que é n!/(n-p)!, que são os dois arranjos que a gente estava falando até agora A última questão desse vídeo é uma questão que eu não fiz raciocínio na prova, eu acho que eu usei a folha de rascunho, e aí eu não usei na própria prova, mas eu vou colocar aqui uma resolução que eu fiz agora pra esse vídeo, mas que foi que eu fiz na hora, porque eu sei que essa é a forma mais rápida e fácil que eu sei de fazer essa questão O enunciado diz que existem 4 provas, ele te deu o peso das 4 provas, deu a nota que esse estudante tirou nas 3 primeiras, e ele fala que ele quer passar de ano, ele vai ter que tirar 60 como média para passar de ano

Ele pede a nota que ele tem que tirar na última prova Então o que você vai fazer? É uma média ponderada, você vai pensar que cada peso tem que ser multiplicado com a sua nota, e depois dividido pelo total do peso, que é, por exemplo, 100, já que é uma porcentagem, e tem que igualar à média Vou deixar isso mais específico: você vai pegar a nota da primeira prova e multiplicar pelo peso da primeira prova, ou seja, 46 20 (eu estou ignorando o % porque depois vou dividir tudo por 100)

Somar com a nota na segunda prova (60) com o peso da segunda prova (10), somar com 50 (na terceira prova) com o peso da terceira prova (que era 30) e depois, por último, a nota na quarta prova, que você não sabe, é x, multiplicado por 40, o peso da quarta prova E dividir tudo isso por 100 Isso é a sua média ponderada que vai dar a nota do bimestre, a nota vai sair no boletim do estudante, e igualar a 60, porque você quer que a média seja 60 Então, quando você resolve essa equação, você vai encontrar a nota que ele precisa tirar na quarta prova, que é 74,5 Bom, essa foi a minha resolução das 9 primeiras questões do Enem 2018 de matemática, do caderno rosa

Eu espero que vocês tenham gostado, espero que tenha ajudado, mesmo que tenha sido de forma rápida Eu preferi fazer assim do que ficar um vídeo muito longo Mas é isso, espero que vocês tenham gostado, aguardem que vai vir ainda as outras 4 partes desse vídeo, com as outras 45 – 9? 36 questões (minha matemática não está tão boa, agora que eu já passei por isso) Mas eu espero que vocês tenham gostado, espero que tenha sido útil, e que os próximos anos ainda sejam úteis

Então, muito obrigado, e até a próxima!

Video 1: Inducción Matemática-igualdad (parte I)

Instituto Tecnológico da Costa Rica Igualdade de Indução Matemática

Cálculo e Álgebra Linear Mestre Marco Gutiérrez Montenegro Neste vídeo vou mostrar como aplicar o princípio da indução matemática para demonstrar igualdade Vamos considerar a próxima identidade Ou seja, a soma dos termos da forma 2 para "n" é igual a 2 para "n + 1", menos 1 Vamos aplicar esse princípio para provar que essa fórmula é válida

E é válido para todo "n" nos números naturais, considerando "n" maior ou igual a 0 Deve-se notar que o princípio da indução matemática é um método de demonstração que usamos para demonstrar propriedades de números naturais Para iniciar a demonstração, definimos um conjunto da seguinte maneira: Este conjunto consiste em todos os números naturais "n" de tal forma que uma proposição "P" está satisfeito Ou seja, mostraremos que a fórmula dada é válida para qualquer número natural Como vamos aplicar esse princípio de indução? Vamos começar de um passo que chamamos de passo ou passo básico "a", que é checar que esta fórmula é satisfeita para o primeiro elemento

E o que significa que está satisfeito para o primeiro elemento? Esse 0 está contido no conjunto Se substituirmos 0 no lado esquerdo da proposição "P", obtemos 2 a 0, o que é igual a 1 na soma, o primeiro elemento da soma E se substituirmos no lado direito da fórmula, é equivalente a fazer 2 aumentado para 0 mais 1, menos 1 Mas temos que verificar isso no lado esquerdo e no lado direito, nos dar o que mesmo, o que é verdade, porque 2 a 0 é igual a 1 e ao resolver o lado direito de a operação nos dá 2 menos 1, que é uma identidade válida Portanto, o primeiro passo do método de indução é satisfeito, que é verificar esse elemento 0 está no conjunto "A"

O próximo passo ou passo "b" é o que é conhecido como o passo indutivo Neste caso, denotaremos ou simbolizaremos como o passo "n" implica "n + 1" O passo "n" assumiria que "n" está em "A" Isso, o que isso significa? Que a soma dos termos da forma 2 para "n" é igual a 2 para "n + 1", menos 1 Vamos nós de novo

Para o passo "b" de indução, vamos assumir como verdade que "n" está em "A", isto é, qualquer número natural está em "A" Então, se é em "A" é porque satisfaz essa proposição Nós chamamos essa hipótese de indução, que denotaremos com "oi" O seguinte, que é o que queremos mostrar, é que "n + 1" está em "A" É tomar a proposição "P" e substituir ou substituir a variável "n" por "n + 1"

Ou seja, se eu pegar a proposição "P" e mudar "n" com "n + 1", o que queremos é mostre que, se a proposição foi cumprida para "n", ela também deve ser válida para "n + 1", é isso que queremos mostrar que vamos abreviá-lo com "hqm" Vamos ver como essa igualdade é demonstrada Como é igual, podemos começar do lado esquerdo da igualdade Neste caso, seria a soma dos termos de 1 a 2 para o "n + 1", mas essa soma podemos expressá-lo considerando o termo penúltimo a 2 para o "n + 1" E qual é o penúltimo prazo para 2 para o "n + 1"? Pois será 2 para o "n" e o último termo é 2 para o "n + 1"

E por que, nas demonstrações de igualdades por indução, é apropriado expressar o penúltimo termo? Porque se olharmos para a soma dos termos até 2 para "n", o que estou marcando com Essa chave é a hipótese de indução Observe que a hipótese de indução nos diz que a soma dos termos até 2 para o "n" é igual a 2 para o "n + 1", portanto, vamos substituir isso por 2 para o "n + 1", menos 1 Mas devemos adicionar o último termo de igualdade Se observarmos o 2 para o "n + 1" aparece duas vezes nesta operação, então podemos expressar como 2 vezes 2 para o "n + 1", menos 1, por termos semelhantes Se aplicarmos as leis de potência, 2 multiplicado por 2 para o "n + 1" é igual a 2 para o "n + 2", menos o 1

E com isso chegamos ao lado direito da identidade que queríamos demonstrar Com certeza, dado que 0 está no conjunto "A" e que se a propriedade é assumida por "n" e foi mostrado que também é válido para "n + 1", depois pelo princípio de indução matemática, que vou encurtar como "PIM", concluímos que o conjunto "A" e "N" são iguais E o que significa que o set "A" e o set "N" são os mesmos? No conjunto "A" lembre-se que eles são todos números naturais para os quais o proposição "P" era verdadeira, mas se o conjunto "A" é igual aos números naturais, isto significa que esta proposição é satisfeita para qualquer elemento "n" Portanto, a fórmula dada inicialmente é verdadeira