Video 1: Inducción Matemática-igualdad (parte I)

Instituto Tecnológico da Costa Rica Igualdade de Indução Matemática

Cálculo e Álgebra Linear Mestre Marco Gutiérrez Montenegro Neste vídeo vou mostrar como aplicar o princípio da indução matemática para demonstrar igualdade Vamos considerar a próxima identidade Ou seja, a soma dos termos da forma 2 para "n" é igual a 2 para "n + 1", menos 1 Vamos aplicar esse princípio para provar que essa fórmula é válida

E é válido para todo "n" nos números naturais, considerando "n" maior ou igual a 0 Deve-se notar que o princípio da indução matemática é um método de demonstração que usamos para demonstrar propriedades de números naturais Para iniciar a demonstração, definimos um conjunto da seguinte maneira: Este conjunto consiste em todos os números naturais "n" de tal forma que uma proposição "P" está satisfeito Ou seja, mostraremos que a fórmula dada é válida para qualquer número natural Como vamos aplicar esse princípio de indução? Vamos começar de um passo que chamamos de passo ou passo básico "a", que é checar que esta fórmula é satisfeita para o primeiro elemento

E o que significa que está satisfeito para o primeiro elemento? Esse 0 está contido no conjunto Se substituirmos 0 no lado esquerdo da proposição "P", obtemos 2 a 0, o que é igual a 1 na soma, o primeiro elemento da soma E se substituirmos no lado direito da fórmula, é equivalente a fazer 2 aumentado para 0 mais 1, menos 1 Mas temos que verificar isso no lado esquerdo e no lado direito, nos dar o que mesmo, o que é verdade, porque 2 a 0 é igual a 1 e ao resolver o lado direito de a operação nos dá 2 menos 1, que é uma identidade válida Portanto, o primeiro passo do método de indução é satisfeito, que é verificar esse elemento 0 está no conjunto "A"

O próximo passo ou passo "b" é o que é conhecido como o passo indutivo Neste caso, denotaremos ou simbolizaremos como o passo "n" implica "n + 1" O passo "n" assumiria que "n" está em "A" Isso, o que isso significa? Que a soma dos termos da forma 2 para "n" é igual a 2 para "n + 1", menos 1 Vamos nós de novo

Para o passo "b" de indução, vamos assumir como verdade que "n" está em "A", isto é, qualquer número natural está em "A" Então, se é em "A" é porque satisfaz essa proposição Nós chamamos essa hipótese de indução, que denotaremos com "oi" O seguinte, que é o que queremos mostrar, é que "n + 1" está em "A" É tomar a proposição "P" e substituir ou substituir a variável "n" por "n + 1"

Ou seja, se eu pegar a proposição "P" e mudar "n" com "n + 1", o que queremos é mostre que, se a proposição foi cumprida para "n", ela também deve ser válida para "n + 1", é isso que queremos mostrar que vamos abreviá-lo com "hqm" Vamos ver como essa igualdade é demonstrada Como é igual, podemos começar do lado esquerdo da igualdade Neste caso, seria a soma dos termos de 1 a 2 para o "n + 1", mas essa soma podemos expressá-lo considerando o termo penúltimo a 2 para o "n + 1" E qual é o penúltimo prazo para 2 para o "n + 1"? Pois será 2 para o "n" e o último termo é 2 para o "n + 1"

E por que, nas demonstrações de igualdades por indução, é apropriado expressar o penúltimo termo? Porque se olharmos para a soma dos termos até 2 para "n", o que estou marcando com Essa chave é a hipótese de indução Observe que a hipótese de indução nos diz que a soma dos termos até 2 para o "n" é igual a 2 para o "n + 1", portanto, vamos substituir isso por 2 para o "n + 1", menos 1 Mas devemos adicionar o último termo de igualdade Se observarmos o 2 para o "n + 1" aparece duas vezes nesta operação, então podemos expressar como 2 vezes 2 para o "n + 1", menos 1, por termos semelhantes Se aplicarmos as leis de potência, 2 multiplicado por 2 para o "n + 1" é igual a 2 para o "n + 2", menos o 1

E com isso chegamos ao lado direito da identidade que queríamos demonstrar Com certeza, dado que 0 está no conjunto "A" e que se a propriedade é assumida por "n" e foi mostrado que também é válido para "n + 1", depois pelo princípio de indução matemática, que vou encurtar como "PIM", concluímos que o conjunto "A" e "N" são iguais E o que significa que o set "A" e o set "N" são os mesmos? No conjunto "A" lembre-se que eles são todos números naturais para os quais o proposição "P" era verdadeira, mas se o conjunto "A" é igual aos números naturais, isto significa que esta proposição é satisfeita para qualquer elemento "n" Portanto, a fórmula dada inicialmente é verdadeira

El principio de inducción matemática

Hoje vamos falar sobre o princípio da indução É aquela jóia Matemática que torna nossa vida mais fácil e temos tempo livre em que você não acredita

O trabalho do matemático é simples Passamos o dia todo demonstrando declarações ou teoremas e não podemos estagnar Nós não podemos perder tempo porque eu também gosto de chegar em casa para coçar minha Pés e ver Pepa a porca Pepa Pig E o que me faz ir a minha casa para ver Pepa Pig em vez de estar demonstrando Teoremas é o princípio da indução e tenho que agradecer ao seu criador Blaise Pascal Olha como bonito com esse cabelo pequeno

Cumprimente Blaise Vamos lá O princípio da indução diz que se tivermos uma propriedade que esteja em conformidade número 1 e se assumirmos que o número atende qualquer número n podemos mostrar que, em seguida, atende também n + 1 então agora vem o que nos salva o trabalho Todos os números naturais têm essa propriedade Não precisa ser demonstrando para todos

Você pode imaginar estar verificando a propriedade comutativa com todos os números naturais? Bem, tchau Pepa Pig ou você não lembra que existem infinitos números naturais ou mais Ele não te vê muito convencido Não está muito claro para você sobre n e n + 1, certo? Venha então nada Nós vamos fazer uma demonstração com o princípio da indução O que eu queria sair em breve para casa hoje Nós vamos mostrar que a soma dos ângulos interiores de qualquer polígono convexo é igual ao número de lados menos 2 x 180 e faremos isso por indução

By the way, polígono convexo é aquele em que todos os ângulos os interiores medem menos de 180 graus e as diagonais que traçamos são interiores Para a bagunça, venha O menor polígono é o triângulo, certo? e a soma dos ângulos O interior de um triângulo é 180 O número de lados de um triângulo é três Três menos dois é um

Um para 180 é igual a 180 Então neste caso pequeno é atendido Primeiro passo da indução, dado Segundo passo, a gordura Suponha que os polígonos dos n lados atendam a isso

Vamos ver se assumindo que podemos Mostre para quem tem mais um lado Nós temos um polígono de n + 1 lados Nós tomamos dois lados e juntamos os vértices de suas extremidades com o que formamos um triângulo e o outro lado do triângulo temos os outros lados do polígono que com o lado que usamos para fazer o triângulo formar um polígono com n lados note que a soma dos lados internos do nosso polígono de n + 1 lados é igual à soma dos ângulos internos desta de n lados e do triângulo Bem, faça a soma

As do triângulo somam 180 e as do polígono de n lados supõem que elas se somam 180 pelo número de lados menos dois Ok, agora adicionamos tudo e deixamos 180 mais 180 para n menos 2 É 180 para n + 1 – 2 Ou seja, o mesmo E a indução é cumprida e não procure mais

Isso é verdade para todos os polígonos convexo do mundo Nós nos salvamos um trabalho infinito e agora eu posso ir para a minha casa para coçar meus pés em vez de me perder em polígonos de lados infinitos Obrigado Blaise Pascal! Ele chegou a tempo de ver o episódio de Pepa Pig Você sabe como o número pi se relaciona com Don Quixote ou o pintor do Renaissance Dürer com os quadrados mágicos? Inscreva-se e você descobrirá tudo

Inducción Matemática (EJERCICIO) || MATHEMATICAL INDUCTION

INDUÇÃO MATEMÁTICA É um dos métodos mais importantes usados ​​em demonstrações matemáticas e é uma aplicação dos postulados de peano que nós já vimos Este método consiste em 3 etapas que são as seguintes, esta linha será útil dividir o tabuleiro e isso se encaixa mais e nos lembramos do que vimos antes

O primeiro passo para a indução matemática é tentar por n = 1 onde, com este primeiro passo você tenta tentar o primeiro número natural o que é 1 O segundo passo é a hipótese, a hipótese é que "n" vai ser igualado à letra "k" e o terceiro e último passo nos pede para provar que para "n" é igual a k + 1 Vamos fazer um exercício com este exercício que tem a seguinte sucessão 1/1 (2) + 1/2 (3) + 1/3 (4) + estes três pontos é porque a sucessão segue que a proposta é + 1 / n (n + 1) e a proposta nos diz que isso é igual a n / n + 1 para o número inteiro "n" isso é natural E pede-se que por indução matemática por estes 3 passos vamos provar isso então, estamos fazendo cada um dos passos

Levando em conta que nossa seção de interesse é esta O primeiro passo nos pede para tentar n = 1 então pegamos a peça que nos preocupamos com a sucessão e nós escrevemos nesta parte então, eles nos pedem para tentar com n = 1 o que isso significa onde nós temos o "n" vamos substituí-lo com o 1 Neste caso, marque-os com vermelho mas eles são os mesmos que estão aqui Então tudo que você tem que fazer como primeiro passo é substituir o "n" por um "1" E o primeiro passo seria correto sim de ambos os lados Tem o mesmo valor Simplificando teria que 1 + 1 = 2 e 1 + 1 = 2 e multiplique 1 (2) = 2 portanto, a primeira propriedade da indução matemática é cumprida

Desde 1/2 = 1/2 então o primeiro passo cumpre-se Como um segundo passo vamos fazer a hipótese onde "n" vai ser o mesmo "k" permanecendo assim e apenas por ser a hipótese nós assumimos que é verdade e como vamos ocupar mais tarde vamos chamá-lo é a equação 1 O terceiro passo é demonstrar que n = k + 1 também é chamado de tese e apenas o que tem que ser feito é onde há um "n" nesta expressão, vamos transformá-lo em um k + 1 bem neste passo você tem que ter muito cuidado desde a primeira expressão que temos na hipótese vai ficar como está e daqui vamos fazer n = k + 1 sobre o que temos em colchetes azuis então, nós temos exatamente 1 / n (n + 1) = n / n + 1 nesta tese, passo número 3, vamos substituir esses "n" por k + 1 k + 1 k + 1 k + 1 yk + 1 e agora o que você tem que fazer é simplificar esta tese, mas como vamos ocupá-lo e fazer um pouco de misturas entre equações vamos chamá-lo de equação número 2, lembre-se que 1 é a hipótese e 2 é a nossa tese Agora sim, simplificamos essa equação Isso não pode mais ser fatorado então deixamos o mesmo, mais "k + 1" nós colocamos entre parênteses e nesse parênteses nós temos k + 1 + 1 1 + 1 = 2 então nós temos k +2 e do outro lado da igualdade nós temos k + 1 + 1 no denominador que 1 + 1 = 2 portanto, temos k + 2, para demonstrar esta tese temos que fazer que ambos os lados da igualdade seja o mesmo e vamos confiar em nossas duas equações; ambos 1 e 2

Eu escrevo para que eles possam ver e explicar passo a passo Com isso nós indicamos o que vamos fazer a substituição da equação 1 na equação 2, isto é, vamos usar seu valor e vamos substituí-lo neste Como você vai ver 1 / k (k + 1) é igual a essa parte que temos que é igual a k / k + 1 tendo em conta que esta é uma hipótese verdadeira, então nós substituímos esse valor que temos aqui para este valor Este valor que é igual a este valor nós substituímos k / k + 1 e o resto nós deixamos como está, mais esta expressão igual a este outro Então através da álgebra é transformar esse lado da igualdade que é igual deste lado da igualdade, então, deletamos essa peça para chegar à expressão mesmo que este Então nós passamos deste lado, isso que este suportes azuis é a expressão que queremos obter que nós colocamos deste lado da nossa igualdade e daqui fazemos álgebra para chegar a essa expressão, aqui o que você tem que ter um pouco de habilidade algébrica ou prática e prática para que essas etapas são facilite No primeiro temos que k = k + 1 podemos separar o "k" multiplicando isso qual é essa mesma expressão isso vai se assemelhar para a separação que temos deste lado se separarmos as multiplicações dos denominadores, k + 1 e k + 2 esta expressão é a mesma que esta e esta expressão é a mesma que esta

Lembre-se que se multiplicarmos algumas frações neste caso, seria (k) por (1), envelope (k + 1) por (1) [(k) (1)] / [(k + 1) (1)] o que essa expressão nos daria e o mesmo com o resto da equação De que adianta ter dessa maneira? Bem, percebemos que esta expressão é a mesma que esta para o qual você pode fazer um faturamento e nós estamos sempre indo olhar para factoring na indução matemática para atingir uma expressão mínima Isso está sublinhado em vermelho eles são os mais comuns na expressão portanto, vamos fatorar desta maneira nós colocamos essa mesma expressão multiplicado (k) * [1 / (k + 2)] e nós temos isso dessa maneira Agora vamos fazer disso uma fração única Nós fazemos o mínimo múltiplo comum (k + 2) vai ser o nosso denominador então vamos fazer (k + 2) (k) e como o mesmo denominador é +1, e vamos simplificar o numerador, (k) (k) = k ^ 2 e logo, mais (k) (2) = 2k então esta expressão é igual a k ^ 2 + 2k e nós substituímos

O próximo passo é multiplicar ambas as frações, a multiplicação de frações é multiplique o numerador pelo numerador e denominador por denominador 1 multiplicado tudo isso nos dá tudo isso k ^ 2 + 2k +1 e denominador por denominador, qual seria (k + 1) multiplicado por (k + 2) agora é expressão do numerador que vamos mudar e vamos mudá-lo preenchendo o quadrado se você não lembra como fazer este passo que é fundamental para indução matemática e para outras disciplinas na caixa de descrição deixamos os links de como a praça está completa Essa expressão permaneceria como a multiplicação de (k + 1) * (k + 1) isto é o mesmo que ter k ^ 2 + 2k + 1 Em uma fração quando os termos se multiplicam e há o mesmo tanto no numerador quanto no denominador pode ser cancelado como é o caso com isto (k + 1) nós temos isso no denominador e no numerador, então eles são cancelados e quando os cancelamos estamos dizendo que isso é igual a multiplicar por 1, então nossa expressão seria que isso é igual a (k + 1) / (k + 2) então, com isso, continua comprovado desde que testamos o primeiro número natural, a hipótese é cumprida e ao demonstrá-la com a tese chegamos à mesma expressão que é esta, portanto, é demonstrado por indução matemática que esta sucessão é cumprida e é válido Neste assunto, a única coisa você pode fazer é praticar e levar em conta que a álgebra exigimos isso e praticar isso, normalmente é sempre levado em consideração expressão mínima e este exemplo pode ser usado para aplicá-lo no problema ou demonstração que você tem Espero que você tenha servido a eles vídeo não se esqueça de ver os outros e se inscrever e se você gostou deste tópico dê uma pequena mão, obrigado Vejo você no próximo vídeo