Como funciona uma prova matemática?

O que que dominós têm a ver com uma prova matemática? Você com certeza já enfileirou dominós pra fazer eles caírem em sequência É o famoso e divertido efeito dominó, a queda de um leva à queda do vizinho, e assim por diante até que todas as peças tenham caído

E é esse o princípio por trás de uma prova matemática por indução Se você tem um número infinito de proposições, como que você pode mostrar que algo é sempre verdade? Afinal, não temos como testar a sua veracidade de caso em caso Vamos considerar, por exemplo, a soma de todos os números naturais até um certo ponto Isso é: 1 + 2 + 3 + 4… e assim por diante até um número que vamos chamar de n Esse n pode ser 3, 10, 35 bilhões ou qualquer outra coisa

Você que escolhe Agora, se você pesquisar na internet, você vai encontrar rapidinho que ao invés de somar cada número individualmente você pode simplesmente tacar o n que você escolheu nessa equação aqui pra achar o resultado na hora Vamos investigar com o n sendo igual a 3: 1 + 2 + 3 é 6, que é exatamente o que obtemos com essa nossa fórmula: 3 * (3 + 1) dividido por 2 é o mesmo que 3 * 4 sobre 2, que são 12 meios, o que resulta em 6 Se nosso n fosse 10, teríamos 10 * 11 dividido por 2, o que dá 55 E se você fizer a soma de 1 a 10, é isso que você vai obter

Legal, vimos então que a afirmação funciona pra 3 e 10 Um engenheiro agora já a aceitaria como verdade absoluta, mas vai que colocando nosso n como 35 bilhões o resultado dá errado? E mesmo se desse certo, ainda teríamos infinitos outros números pra testar Nem o computador mais potente do mundo seria capaz de calcular todas as possibilidades, porque as possibilidades são infinitas Precisamos, portanto, do efeito dominó A ideia é a seguinte: se você tem uma longa fila de dominós em pé e você derruba o primeiro, sabendo que um dominó sempre derruba seu vizinho você pode concluir que todos eles eventualmente cairão independentemente da quantidade de peças que você tem

Dessa forma, aplicaremos essa certeza na nossa equação pra prová-la por indução Nossa primeira peça de pé é o número 1, que vai servir como uma base pra nossa prova Experimentamos, portanto, com n sendo igual a 1 A soma de 1 a 1 é 1; e 1 * (1+1) sobre dois é 1 também Perfeito! Derrubamos a primeira peça

Com base nisso, vamos assumir que nossa hipótese é válida pra qualquer n e ver o que acontece com seu vizinho, que é n+1 Se ela for verdadeira, ela deve valer pra n+1 também, já que cada dominó faz o próximo cair em uma reação em cadeia Logo, somamos agora até n+1 ao invés de apenas n Do lado esquerdo, agora temos 1 + 2 + 3… + n + (n+1) Do lado direito, temos a nossa fórmula da base de antes que assumimos ser igual à soma até n e adicionamos o seu sucessor, n+1

Com um pouco de manipulação algébrica e matemágica, chegamos à solução de que a adição dos números de 1 a n+1 é o mesmo que (n+1) * ((n+1) + 1) sobre 2 É exatamente o esperado considerando a nossa premissa, provamos matematicamente que qualquer dominó vai fazer o próximo da fila tombar em todos os casos Muito obrigado por assistir! Se você gostou desse vídeo, eu peço que você se inscreva aqui no Guru da Ciência pra mais vídeos como esse Normalmente eu trago vídeos de ciência da computação ou astronomia, então me deixe saber se algo mais matemático assim é de interesse de vocês gurus também Valeu!