Matemática – Aula 10 – Logaritmos (Parte 2)

[MÚSICA] [MÚSICA] [MÚSICA] [MÚSICA] [MÚSICA] >> [CLAUDIO] ALUNOS DA UNIVESP BEM VINDO A MAIS UMA AULA DO NOSSO CURSO DE MATEMÁTICA ESSA VAI SER A SEGUNDA AULA SOBRE LOGARITMOS UM TEMA EXTREMAMENTE FASCINANTE, RICO EM APLICAÇÕES, EM CIÊNCIA E TECNOLOGIA COMO VOCÊS VÃO VER NA AULA DE HOJE

ENTÃO CONTINUANDO NO NOSSO ESTUDO DE LOGARITMOS, VAMOS LEMBRAR NA AULA PASSADA NÓS VIMOS A DEFINIÇÃO DE LOGARITMOS ESSENCIALMENTE QUE O LOGARITMO É UM EXPOENTE O "Y" É O LOGARITMO DE UM NÚMERO "X" NA BASE "B", SE ESSE "Y" É O EXPOENTE QUE O TAL QUE EU FAÇO A BASE ELEVADA AO EXPOENTE PARA OBTER O "X" ENTÃO ESSA IGUALDADE SIGNIFICA QUE O "X" É O "B" ELEVADO A "Y" NÓS VIMOS A SEGUINTE PROPRIEDADE, QUE O LOGARITMO DO PRODUTO É A SOMA DOS LOGARITMOS CONSEQUÊNCIA DESSA PROPRIEDADE É QUE O LOGARITMO DE "X" ELEVADA UMA POTÊNCIA, TUDO SE PASSA COMO SE A POTÊNCIA DESCESSE AQUI PRA FRENTE E FICASSE O EXPOENTE VEZES O LOGARITMO

PENSA QUE VOCÊ TEM "X" AO QUADRADO, "X" AO QUADRADO É "X" VEZES "X" ENTÃO SE EU TIVER LOGARITMO DE "X" AO QUADRADO É "X" VEZES "X", FICA LOGARITMO DE "X" MAIS LOGARITMO DE "X" DUAS VEZES, ENTÃO "X" AO QUADRADO TUDO SE PASSA COMO SE DOIS DESCESSE E FICASSE AQUI NA FRENTE ISSO VALE PARA QUALQUER EXPOENTE, ACABEI DE EXEMPLIFICAR POR DOIS, MAS VALE PARA QUALQUER EXPOENTE QUE A GENTE TEM ENTÃO ESSA É UMA PROPRIEDADE IMPORTANTE DE LOGARITMOS, A GENTE PODE PEGAR UM EXPOENTE ESTEJA NO LOGARITMANDO E PUXAR PRA FRENTE DO LOGARITMO, ISSO VAI APARECER NAS NOSSAS CONTAS MUITAS VEZES DANDO CONTINUIDADE ENTÃO AS PROPRIEDADES BÁSICAS DOS LOGARITMOS VAMOS OBSERVAR O SEGUINTE: LOGARITMO DE 1 EM QUALQUER BASE DA ZERO, QUALQUER BASE, LOGARITMO DE 1 SEMPRE DA ZERO

PORQUE QUALQUER BASE É LEVADO A ZERO DÁ 1, LOGARITMO É EXPOENTE, O EXPOENTE PARA QUE O RESULTADO DA POTÊNCIA SEJA 1 TEM O SER EXPOENTE ZERO LOGARITMO DO NÚMERO QUE É IGUAL A BASE, VOCÊ PEGA LOGARITMO DE 10 NA BASE 10, LOGARITMO DE 7 NA BASE 7 OU LOGARITMO DE 500 NA BASE 500, SEMPRE 1 PORQUE A BASE ELEVADA 1 DA ELA MESMO, SE EU COLOCAR O MESMO NÚMERO AQUI O EXPOENTE QUE FAZ A BASE LEVADO A ELE DA ESSE NÚMERO É O NÚMERO 1 ENTÃO NORMAL, LOGARITMO DE "B" NA BASE "B" SEMPRE É 1 1 SOB O EXPOENTE, SEMPRE É 1 1 SOB O EXPOENTE, O OPOSTO, LEMBRE SE QUE 1 SOBRE "Y" É "Y" ELEVADO A "-1" E A PROPRIEDADE DO EXPOENTE QUE PODE SER COLOCADO NA FRENTE

"Y" ELEVADO "-1", TUDO SE PASSA COMO SE AO "-1" DESCESSE AQUI PRA FRENTE FICA MENOS O LOG DE "Y" ENTÃO ÀS VEZES É MAIS FÁCIL TRABALHAR COM ESSA PROPRIEDADE DO QUE FAZER A CONTA COM UM NÚMERO QUE ESTÁ DADO OBSERVE-SE ESSE EXEMPLO AQUI: LOG DE 1 SOBRE 243, LOG NA BASE 3, EU SEI QUE 243, LOG NA BASE 3, EU SEI QUE 243 É UMA POTÊNCIA DE 3, 3 AO QUADRADO DA 9, AO CUBO DA 27, A QUARTA POTÊNCIA DA 81 E A QUINTA POTÊNCIA DA 243 ENTÃO, É ISSO AQUI É 3 E LEVADO À QUINTA, FICA MAIS FÁCIL FAZER A CONTA SE NO LUGAR DE 1 SOBRE 243 COLOCAR MENOS O LOGARITMO DE 243 QUE É AQUELA PROPRIEDADE DO EXPOENTE QUE DESCE ENTÃO ISSO AQUI É MENOS O LOGARITMO DE 243 QUE É 5, ENTÃO FICA MENOS CINCO

CERTO? É UMA PROPRIEDADE QUE FACILITA ALGUMAS DAS NOSSAS CONTAS POR ISSO É IMPORTANTE TER SEU REPERTÓRIO DE PROPRIEDADES OPERATÓRIAS QUE A GENTE USA NO MEIO DOS NOSSOS CÁLCULOS UMA QUARTA PROPRIEDADE PARA CONSCIENTE, LOGARITMO DE UM CONSCIENTE É A SUBTRAÇÃO DOS LOGARITMOS ISSO ENTÃO É O ANÁLOGO QUE A GENTE FAZ, QUANDO É LOGARITMO DO PRODUTO É A SOMA DOS LOGARITMOS, QUANDO É LOGARITMO DE UMA DIVISÃO É A SUBTRAÇÃO DOS LUGARES, PODE SER FEITO USANDO A PROPRIEDADE DE CIMA, "X" SOBRE "Y" É A MESMA COISA QUE "X" VEZES 1 SOBRE "Y", ENTÃO VAI SER A SOMA DO LOG DE "X" COM O LOG DE UM SOBRE "Y", MAS O LOG DE UM SOBRE "Y" É MENOS O LOG DE "Y" ENTÃO É LOGARITMO DE UM COCIENTE Á SUBTRAÇÃO DOS LOGARITMOS UMA OUTRA PROPRIEDADE, UMA PROPRIEDADE MAIS SUTIL, MAS QUE TEM SUA UTILIDADE É QUE SE EU TIVER UMA POTÊNCIA NA BASE, LOGARITMO DE UMA BASE ELEVADA A UM EXPOENTE DE UM NÚMERO "X", ISSO É IGUAL A 1 SOBRE A BASE VEZES O LOGARITMO DE "X" NA BASE SEM O EXPOENTE ENTÃO SE EU TIVER A BASE ELEVADA AO EXPOENTE TUDO SE PASSA COMO SE ESSE EXPOENTE VIESSE AQUI PRA FRENTE MAS NA FORMA DE UM SOBRE

LEMBRE-SE QUANDO EU TENHO UM EXPOENTE "LOGARITMANDO" ELE DESCE AQUI PRA FRENTE COMO UM COEFICIENTE MULTIPLICATIVO, QUANDO EU TENHO UM EXPOENTE NA BASE ELE SOBE AQUI PRA FRENTE, VEM AQUI PRA FRENTE, COMO 1 SOBRE, ESSA É UMA PROPRIEDADE ÚTIL TAMBÉM PARA FAZER CERTAS CÁLCULOS, POR EXEMPLO, VOCÊ TEM UM LOG DE 1024 NA BASE 16 RAPIDAMENTE A GENTE LEMBRA QUE 1024 É UMA POTÊNCIA CONHECIDA, 1024 É UMA POTÊNCIA IMPORTANTE, É UMA POTÊNCIA BÁSICA DA POTÊNCIA DE 2 É 2 ELEVADO À DÉCIMA, MAS A BASE NÃO É 2, A BASE É 16 SE EU QUISER USAR A DEFINIÇÃO EU VOU TER QUE MANIPULAR COM ESSE 16 PARA CHEGAR NO 1024 E EU SEI QUE DO 2 PARA 1024 É BÁSICO, É FÁCIL, É 2 LEVADO À DECIMA E 16 TEM A VER COM 2, 16 É 2 A QUARTA, ENTÃO EU POSSO COLOCAR A BASE 16 COMO SENDO UMA POTÊNCIA DE BASE 2, AI EU TENHO ESSE EXPOENTE 4 AQUI, ELE VEM AQUI PRA FRENTE COMO SENDO UM QUARTO E FICA UM QUARTO LOGARITMO DE 1024 NA BASE 2 O 1024 NA BASE 2 EU SEI QUE O LOGARITMO É 10, PORQUE EU CONHEÇO A POTÊNCIA 2 ELEVADO À DÉCIMA É IGUAL 1024 ENTÃO FICA ISSO FICA UM QUARTO DE 10 OU 5 SOBRE DOIS É MAIS RÁPIDO CHEGAR NESSE RESULTADO VIA ESSA PROPRIEDADE DO QUE TENTAR FAZER USANDO A DEFINIÇÃO DE LOGARITMO EXISTE DEFINIÇÃO DE LOGARITMO

EXISTE UMA FÓRMULA CHAMADA FÓRMULA DE MUDANÇA DE BASE NOS LOGARITMOS, LOGARITMO DE QUALQUER NÚMERO "A" NUMA BASE "B", SATISFEITAS AS CONDIÇÕES DE EXISTÊNCIA, POSITIVOS A BASE NÃO PODE SER 1, TEM QUE SER POSITIVA TAMBÉM LOGARITMO DE "A" NA BASE "B" SE ESCREVE COMO LOGARITMO DE "A" NA BASE "C" VEZES LOGARITMO DE "B" NA BASE "C" EM QUE "C" É UMA TERCEIRA BASE, QUALQUER BASE, QUE TEM QUE SATISFAZER AS CONDIÇÕES DE EXISTÊNCIA ENTÃO ISSO CHAMA-SE MUDANÇA DE BASE TEM UMA IMPORTÂNCIA QUE EU JÁ VOU MOSTRAR UM POUQUINHO, MAS DEIXA EU DAR SÓ DAR NUMÉRICO PRA FICAR BEM CLARO COMO É QUE SE USA ISSO LOGARITMO DE 512 NA BASE 64, TANTO 512 QUANTO 64 SÃO POTÊNCIAS DE 2, ENTÃO VOU TRANSFORMAR TUDO EM UM LOGARITMO DE BASE DOIS E LOGS DE 512 NA BASE 64 É LOG DE 512 NA BASE 2, SOBRE LOG DE 64 NA BASE 2

É ISSO QUE AFIRMA A PROPRIEDADE DE MUDANÇA DE BASE, OBSERVE QUE ESTOU APLICANDO COM "A" IGUAL 512, "B" IGUAL "A" 64 E INTRODUZIR UMA BASE NOVA "C" QUE A TERCEIRA BASE A ESCOLHA DA BASE "C" QUE EU VOU USAR DEPENDE EM CADA EXERCÍCIO DE ESCOLHER UMA BASE QUE FACILITE A MINHA VIDA NESTE CASO ERA A BASE 2 QUE IRIA TORNAR MINHAS CONTAS MAIS RÁPIDAS LOG DE 512 NA BASE 2 É 9, LOGO DE 64 NA BASE 2 É 6, ENTÃO ISSO É 9/6 E 3/2 ENTÃO O DOMÍNIO DESSAS PROPRIEDADES OPERATÓRIAS PERMITEM QUE AS NOSSAS CONTAS SEJAM AGILIZADAS, POR ISSO É IMPORTANTE TER UM REPERTÓRIO DE PROPRIEDADES CONHECIDAS SOBRE OS CONCEITOS MATEMÁTICOS TEM UMA OUTRA CONSEQUÊNCIA ESSA PROPRIEDADE DE MUDANÇA DE BASE, VOU MOSTRAR AGORA, FAZENDO UMA COMPARAÇÃO ENTRE AS DUAS BASES, MAS VOCÊ VAI PODER PERCEBER O SEGUINTE, DO PONTO DE VISTA BEM CONCEITUAL, SE VOCÊ CONHECE LOGARITMO NUMA BASE PRATICAMENTE VOCÊ CONHECE LOGARITMO EM QUALQUER OUTRA BASE, SE VOCÊ TEM UMA TABELA DE LOGARITMOS NUMA DETERMINADA BASE NÃO É DIFÍCIL CONVERTER PARA LOGARITMOS EM OUTRA BASE

OLHA QUE BONITINHA ESSA ANÁLISE, IMAGINE QUE VOCÊ SAIBA QUE LOGO DE 10 NA BASE 2 É 3,33 IMAGINE QUE ISSO SEJA É 3,33 IMAGINE QUE ISSO SEJA CONHECIDO, ENTÃO NÓS PODEMOS ESCREVER O SEGUINTE: LOG DE QUALQUER "X" NA BASE 10, LOG DE QUALQUER "X" NA BASE 10 É LOG DE "X" NA BASE DOIS, LOG DE 10 NA BASE 2 POR QUE EU ESCOLHI DOIS COM ESSA BASE? PORQUE EU TINHA QUE CONHECER O LOG DE 10 EM ALGUMA BASE E AÍ O LOG DESSA BASE CONHECIDO NA BASE 2 EU VOU PASSAR TUDO PRA BASE 2 BOM, SE EU SEI QUE LOG DE 10 NA BASE 2 É 3,3 ENTÃO ESSE 1 SOBRE O LOG DE 10 NA BASE 2 É UM SOBRE 3,3 E O LOG DE "X" NA BASE 2 FICA AQUI NA FRENTE, FAÇO ESSA CONTA, NO MEU CASO DE 0,3, ESSES NÚMEROS SÃO TODOS APROXIMADOS, É CLARO

MAS OBSERVE O QUE TEM NO COMEÇO E O QUE TEM NO FIM, LOG DE "X" NA BASE 10, LOG DE LOG DE "X" NA BASE 10, LOG DE "X" NA BASE 2 DE E O FATOR MULTIPLICANDO AQUI NA FRENTE EU PODERIA TER FEITO PARA QUALQUER BASE, O QUE EU PRECISO TER EM MÃOS PARA FAZER ESTA TRANSFORMAÇÃO? SABER O LOGARITMO DA BASE INICIAL, 10, NA BASE NOVA, 2, SE EU TENHO UM LOGARITMO NUMA DETERMINADA BASE E EU QUERO MUDAR PARA UMA OUTRA BASE BASTA EU SABER O LOGARITMO DA BASE ANTIGA NA BASE NOVA E AI EU APLICO ESSA FÓRMULA, SE EU SOUBER O LOGARITMO DA BASE ANTIGA NA BASE NOVA EU PASSO DE LOG DE "A" NA BASE "B" PRA LOG DE "A" NA BASE NOVA, "C", E TUDO FICA MULTIPLICADO NUMA CONSTANTE RESUMINDO, OS LOGARITMOS DE UMA BASE EM OUTRA, DOS MESMOS NÚMEROS, OBSERVE QUE É "X" E "X", ELES FICAM ELE VAI DE UMA BASE PARA OUTRA PELA MULTIPLICAÇÃO SEMPRE POR UMA MESMA CONSTANTE, CONSTANTE ESSA QUE É O LOGARITMO DA BASE ANTIGA NA BASE NOVA, NA VERDADE 1 SOBRE O LOGARITMO DA BASE ANTIGA NA BASE NOVA, 1 SOBRE O LOGARITMO DA BASE ANTIGA NA BASE NOVA, MUITO BONITA ESSA MONTAGEM QUE EU ACABEI DE MOSTRAR PRA VOCÊS, NÉ? ENTÃO AQUI EU TENHO UM ELENCO DE PROPRIEDADES IMPORTANTES, RESUMINDO TODOS AS PROPRIEDADES QUE EU MOSTREI AGORA, LOG DE 1 NA BASE "B" É SEMPRE ZERO, "B" NA BASE "B" SEMPRE É 1, LOG DO COCIENTE É A SUBTRAÇÃO DOS LOGS, EXPOENTE NA BASE VEM PRA FRENTE DO LOG COMO 1 SOBRE E MUDANÇA DE BASE, LOG DE "A" NA BASE "B" SE PASSA POR UMA BASE "C" E FAZENDO COCIENTE DO "LOGARITMANDO" A BASE "C" SOBRE O LOG DA BASE NA NOVA BASE ESSAS PROPRIEDADES TODAS PARA SEREM VERDADEIRAS CLARO QUE TEM QUE ESTAR DENTRO DO CONTEXTO EM QUE VALE AS PROPRIEDADES LOGARITMO QUE SÃO AS BASES POSITIVAS E DIFERENTES DE 1 E OS "LOGARITMANDOS" POSITIVOS, SE NÃO EXISTEM OS LOGARITMOS COMO EU MOSTREI NA AULA PASSADA EU MOSTREI NA AULA PASSADA BASE E NÓS VAMOS FALAR UM POUQUINHO HOJE EM AULAS FUTURA A GENTE VAI VOLTAR A ESTE NÚMERO "E" O NÚMERO "E" É UM NÚMERO EXTREMAMENTE IMPORTANTE "E" ELE É UM NÚMERO IRRACIONAL, APROXIMADAMENTE 2,718281

É UM NÚMERO IRRACIONAL ENTÃO A DÍZIMA CONTINUA INFINITAMENTE, ELA DIZIMA INFINITA NÃO PERIÓDICA QUE É UM NÚMERO IRRACIONAL E ELE É UM NÚMERO IMPORTANTE PORQUE EM MUITOS FENÔMENOS NATURAIS UM NÚMERO QUE APARECE É O NÚMERO "E", ENTÃO QUANDO A GENTE OLHA DECAIMENTO RADIOATIVO, QUANDO A GENTE OLHA UMA SÉRIE DE FENÔMENOS QUE ESTÃO PRESENTES NA NATUREZA, O NÚMERO "E" ESTÁ PRESENTE AS RAZÕES PELAS QUAIS O "E" ESTÁ PRESENTE SÃO RAZÕES MUITO PROFUNDAS QUE NÓS VEREMOS AO LONGO DE DISCIPLINAS LÁ NO FUTURO, NÃO VAI SER NEM NESSA DISCIPLINA QUE VAMOS FALAR MUITO DISSO, MAS A GENTE VAI TER OPORTUNIDADE DE, NAS AULAS DE CÁLCULO, FOCAR MUITO EM CIMA DO NÚMERO "E" PORQUE ELE TEM PROPRIEDADES IMPORTANTES QUE EXPLICAM POR QUE ELE É TÃO PRESENTE NA NATUREZA, ENTÃO NÓS VAMOS TRABALHAR MUITO COM ESSE NÚMERO "E" E O LOGARITMO DE BASE "E" É CHAMADO LOGARITMO NATURAL OU LOGARITMO NEPERIANO, ELE É TÃO IMPORTANTE, TÃO PRESENTE QUE ELE TEM UM SÍMBOLO PRÓPRIO QUE É "LN" AI NEM ESCREVER A BASE, QUANDO VOCÊ NÃO ESCREVE A BASE É PORQUE É "E"

QUANDO VOCÊ ESCREVE UM LOG E NÃO PÕE A BASE O MAIS COMUM É QUE SEJA BASE 10, MAS HÁ UMA TENDÊNCIA DE QUE TODOS OS LOGARITMOS SEJA EM BASE "E", INCLUSIVE MUITOS LIVROS ESCREVEM LOG MESMO SEM BASE NENHUMA PARA INDICAR "LN", PARA INDICA LOG DE BASE "E" MESMO, MAS O MAIS COMUM É QUE O LOG DE BASE E APAREÇA ESCRITO COMO "LN" E É UMA BASE MUITO PRESENTE NA CIÊNCIA, VOLTAREMOS A ELE MAIS TARDE VOU DAR UM EXEMPLO CONCRETO PRA VOCÊS DE USO DE LOGARITMO EM UM ESTUDO CIENTÍFICO TECNOLÓGICO QUE É UM ESTUDO DE DA ESCALA RICHTER DE TERREMOTOS, TODO MUNDO JÁ OUVIU FALAR DA ESCALA RICHTER QUANDO A GENTE DÁ INFORMAÇÕES SOBRE A MAGNITUDE DE UM TERREMOTO É SEMPRE UM NÚMERO E É UM NÚMERO QUE ESTÁ DADO NA ESCALA RICHTER A ESCALA RICHTER É UMA ESCALA LOGARÍTMICA COMO EU VOU MOSTRAR PRA VOCÊS, O FATO DELA SER LOGARÍTMICA TEM CONSEQUÊNCIAS NA INTERPRETAÇÃO DOS RESULTADOS QUE APARECEM ENTÃO ESSA ESCALA FOI CRIADA UMA DÉCADA DE 30, EM TORNO DE 1930, POR ALGUNS CIENTISTAS DA ÉPOCA E ELA SERVE PARA MEDIR A INTENSIDADE OU A MAGNITUDE DE UM ABALO SÍSMICO DE UM TERREMOTO É PRECISO OBSERVAR TAMBÉM QUE O ATUALMENTE A ESCALA RICHTER PASSOU POR UMA SÉRIE DE APERFEIÇOAMENTOS QUE SÃO ASSIM EVOLUÇÕES NATURAIS EM CIMA DO QUE EU VOU MOSTRAR PRA VOCÊS, EU VOU MOSTRAR A ESCALA RICHTER NO SEU FUNDAMENTO INICIAL A INTENSIDADE DO TERREMOTO VOU CHAMAR DE "M" OU MAGNITUDE

A MAGNITUDE DE UM TERREMOTO É DADA UMA FÓRMULA QUE TEM LOGARITMO DE BASE 10 OLHA QUE INTERESSANTE OS GEÓLOGOS, OS CIENTISTAS QUANDO CRIARAM UMA MANEIRA DE QUANTIFICAR A INTENSIDADE DE UM TERREMOTO USAR UM LOGARITMO DE BASE 10, ELE É O LOGARITMO NA BASE 10 DESSE NÚMERO, NÚMERO "A" VEZES UM DELTA "T" AO O CUBO DIVIDIDO POR 1,62 QUE É UMA CONSTANTE PERMANENTE "A" É AMPLITUDE DAS ONDAS, É A AMPLITUDE DAS ONDAS, É A AMPLITUDE DA ONDA SÍSMICA MEDIDA EM MILÍMETROS, O QUANTO HOUVE DE OSCILAÇÃO NA TERRA, HOUVE DE OSCILAÇÃO NA TERRA, NAS COISAS QUE ESTÃO SE MEXENDO DELTA "T" É UM INTERVALO ENTRE A CHEGADA DAS ONDAS PRIMÁRIAS E SECUNDÁRIAS DENTRO DO TERREMOTO É UM CONCEITO BEM DE GEOLOGIA QUE ESTÁ SER PRECISADO PARA FICAR BEM CLARO

E "M" É A INTENSIDADE OU MAGNITUDE DO TERREMOTO, A ENERGIA LIBERADA PELO TERREMOTO E ESSENCIALMENTE A ENERGIA LIBERADA QUE CAUSA ESTRAGO, O QUE DERRUBA UM PRÉDIO É UMA ENERGIA QUE FOI LIBERADA PELO ABALO SÍSMICO O QUE CAUSA TSUNAMI, O QUE CAUSA ABALO NAS ESTRUTURAS QUE NÓS TEMOS DENTRO DE UM TERREMOTO É A ENERGIA QUE FOI LIBERADA O TERREMOTO LIBERA ENERGIA, ESSA ENERGIA SE ESPALHA PELOS OBJETOS COM CONSEQUÊNCIAS A ENERGIA DEPENDE DIRETAMENTE DO "A" E É "A" ELEVADO A 3 SOBRE 2, A AMPLITUDE VOU MOSTRAR 2, A AMPLITUDE

VOU MOSTRAR PRA VOCÊS O SEGUINTE, É BOM ESSA ESCALA SÓ É UTILIZADO ATÉ UMA CERTA MAGNITUDE QUE EM GERAL TÁ TORNO DE 8,9, MAS O QUE EU QUERO MOSTRAR PARA VOCÊS É O SEGUINTE: QUALQUER DIFERENÇA ENTRE DOIS TERREMOTOS CUJA MAGNITUDE SE DEFINIRAM DE UM PONTO? ENTÃO IMAGINE QUE VOCÊ OUVE ESSA NOTÍCIA, HOUVE UM TERREMOTO NUM PAÍS ONDE TEM TERREMOTOS QUE TEVE ESCALA MAGNITUDE 5 NA ESCALA RICHTER, UM TEMPO DEPOIS ALGUÉM DISSE QUE HOUVE UM TERREMOTO QUE TEVE MAGNITUDE 6 OU QUE TEVE MAGNITUDE 7 O QUE SIGNIFICA AUMENTAR UM PONTO NA MAGNITUDE DO TERREMOTO QUE OCORRE? NEM TODO MUNDO SE DÁ CONTA DE QUE AUMENTAR UM PONTO NA MAGNITUDE É AUMENTAR MUITO A LIBERAÇÃO DE ENERGIA E AUMENTAR MUITO A AMPLITUDE DAS ONDAS ENTÃO OLHA QUE COISA INTERESSANTE, COMO A GENTE PRECISA DOMINAR ESSES CONCEITOS PARA INTERPRETAR BEM O QUE OCORRE QUANDO A GENTE ESTÁ SENDO INFORMADO SOBRE UM ABALO SÍSMICO FAZER UMA CONTINHA PRA VOCÊS SUPONDO UMA MAGNITUDE DE 5 EM SEGUIDA VOCÊ POR SEIS E FAZER CONTA O QUE SIGNIFICA QUE A MAGNITUDE DO TERREMOTO FOI 5? QUE O LOG NA BASE 10 DO "A" DELTA "T" AO CUBO SOBRE 1,62 É 5, MAS ISSO SIGNIFICA QUE ESSE NÚMERO É IGUAL OU 10 ELEVADO A 5, LEMBRA QUE O LOGARITMO EXPOENTE É O QUAL VOCÊ LEVA BASE

ENTÃO AMPLITUDE DELTA "T" AO CUBO SOBRE 1,62 É 10 A QUINTA, 1,62 ESTÁ DIVIDINDO VAI MULTIPLICANDO, DELTA "T" AO CUBO PASSA DIVIDINDO, A AMPLITUDE É 10 A QUINTA, 1,62 SOBRE O DELTA "T" AO CUBO O QUE OCORRE SE A MAGNITUDE É 6? ABSOLUTAMENTE ANÁLOGO, O LOG NA BASE 10 DISSO TUDO É 6, 10 ELEVADO A 6 AQUI É IGUAL A ISSO, 1,62 PASSA MULTIPLICANDO, DELTA "T' AO CUBO PASSA DIVIDINDO E AMPLITUDE 10 A SEXTA, 1,62 DELTA "T" AO CUBO OBSERVA QUE 10 A QUINTA E 10 A SEXTA, O 10 A SEXTA É DEZ VEZES MAIOR QUE 10 A QUINTA, OU SEJA, SE AUMENTA UM PONTO NA ESCALA RICHTER A MAGNITUDE DE UM TERREMOTO É PORQUE A AMPLITUDE DAS ONDAS FOI AUMENTADA POR 10 E AMPLITUDE DAS ONDAS QUE MEDE A ENERGIA LIBERADA PORTANTO A ENERGIA LIBERADA FOI QUEM AUMENTOU, NA VERDADE, AUMENTO DE MAIS DE 10 O QUE ACONTECE SE A AMPLITUDE DAS ONDAS O QUE ACONTECE UM AUMENTO DE TRÊS PONTOS NA MAGNITUDE, QUANDO AUMENTA TRÊS PONTOS NA MAGNITUDE SIGNIFICA QUE AQUELA DIFERENÇA ALI QUE ERAM 10 A QUINTA E 10 A SEXTA VAI TER UM 10 A QUINTA E UM 10 A OITAVA É TRÊS ORDENS DE GRANDEZA MAIOR NA POTÊNCIA DE 10, QUER DIZER QUE AUMENTAR TRÊS PONTOS DA MAGNITUDE DE UM TERREMOTO SIGNIFICA AUMENTAR MIL VEZES A AMPLITUDE DAS ONDAS E PORTANTO MAIS DE MIL VEZES A ENERGIA LIBERADA E PORTANTO MAIS DE MIL VEZES O ESTRAGO O TERREMOTO QUE VALE 4 NA ESCALA RICHTER QUANDO VOCÊ COMPARA COM O DE ESCALA 5 QUE VALE CINCO E DEZ VEZES MAIS DESTRUTIVO O QUE VALE CINCO, O DE 4 COMPARADO QUANDO QUE VALE 6 É 100 VEZES MAIS E COMPARANDO O DE QUATRO COM O DE 4 E O DE 7 É MIL VEZES MAIS DESTRUTIVO QUE O DE QUATRO E POR QUE TUDO ISSO? PORQUE NA RAIZ DESTE CONCEITO TEM UMA ESCALA LOGARÍTMICA VOCÊS VÃO LIDAR COM MUITO COM LOGARITMO AO LONGO DA FORMAÇÃO DE VOCÊS FICAMOS POR AQUI HOJE

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RESOLVENDO MATEMÁTICA DO ENEM 2018 – PARTE 2 | Lucas Felpi

Oi pessoal, bom dia, boa tarde e boa noite pra quem estiver assistindo, meu nome é Lucas Felpi, se você não me conhece esse daqui é meu canal Hoje vou fazer a parte 2 da sequência de vídeos que eu comecei no outro vídeo de matemática, resolvendo as questões do Enem 2018 de matemática

Na parte 1 desse vídeo, que eu vou deixar aqui no card errei o card? Na parte 1 dessa série de vídeos que eu vou deixar aqui no card, e no link da descrição também, eu comecei a resolver as questões, eu fiz as nove primeiras, e agora vou fazer as próximas nove Naquele vídeo eu fiz da 136 até a 144 do caderno rosa e nesse vídeo daqui eu vou fazer da 145 até a 153

Então se você não tá com o caderno rosa, também vai ficar aqui na descrição a correlação entre as questões do caderno rosa com as outras cores de caderno Então sem mais delongas vamos pro vídeo, porque não vou dar as instruções de novo aqui, as instruções estão no outro vídeo sobre como estou fazendo esse estilo de vídeo, pra ir rapidinho e poder resolver todas pra vocês Na questão 145, ele diz que tem uma pessoa que colocou numa caixa vários cartões de questões de vários níveis: fácil médio e difícil Ele colocou no começo 20 cartões sendo que 25% eram fáceis A primeira coisa que você tem que fazer é calcular quantas já tinham de fáceis, antes dele fazer qualquer alteração ou qualquer coisa que ele pede ali

Tinham cinco fáceis das 20, e depois ele quer acrescentar mais perguntas fáceis na caixa para que a probabilidade de alguém tirar uma questão ali e ser fácil é de 75% O que isso significa? Significa que, a cada 4 questões, 3 tem que ser fáceis, porque 75% equivale a 3/4: 75/100 = 3/4, é só simplificar Sendo assim é só montar uma equação Você tem que lembrar a fórmula de probabilidade: probabilidade você calcula colocando o número de possibilidades favoráveis em cima sobre o número de possibilidades totais O que é favorável nesse caso? Pegar uma questão fácil

E o total é o número de questões que têm na caixa no total O que eu montei foi 5 + x (chamei de x o número de perguntas fáceis que ele vai acrescentar na caixa) sobre 20 + x, é igual a 3/4 Um erro muito comum é achar que tem 20 questões no total e colocar 5 + x sobre 20, só que quando ele acrescentou x questões fáceis, ele acrescentou tanto no número de questões fáceis, quanto no número de questões totais Então a probabilidade vira 5 + x sobre 20 + x, isso vai ser igual a 3/4 Resolvendo a equação dá que x é 40, alternativa D

Essa questão era uma questão de matriz, tinha que saber basicamente o que é i e o que é j dentro de uma matriz Ele diz que o elemento aij é o valor em milhões de reais de uma transferência do banco i pro banco j O que isso quer dizer? Você tem que lembrar que i é o valor da linha da matriz e j o valor da coluna da matriz, então é a transferência do banco da linha pro banco da coluna Significa que quando você pegar um valor ali no meio, por exemplo, pega o valor a23, quer dizer que o valor está na linha 2 na coluna 3 Esse valor ali tá 2, ou seja, dois milhões de reais foram transferidos do banco 2 (do banco da linha) para o banco 3 (que é o banco da coluna), ou seja o banco da linha é o que dá e o banco da coluna é o banco que recebe

Isso explica porque a diagonal está toda cheia de zeros, porque não dá pra você transferir de um banco para ele mesmo, então os valores a11, a22, a33, não existem, porque são todos 0 E a pergunta é qual é o banco que mais transferiu dinheiro, mais deu dinheiro A gente tem que lembrar que os bancos que dão dinheiro são os da linha, então quando você vê numa linha, é todo o dinheiro que um banco deu pra outros, das colunas, por isso que eu anotei ali do lado da matriz os números 1, 2, 3, 4, 5, para mostrar que a linha 1 era todo o dinheiro que o banco 1 deu para outros bancos, o da linha 2 era todo dinheiro que o banco 2 deu pra outros bancos, assim por diante, e fui somando na horizontal E aí somando de cada linha, deu que o 1 era o que tinha maior valor, então alternativa A A questão 147 era uma questão de logaritmo, essa foi uma das questões que eu errei

Podem falar que vocês acertaram, podem esnobar, eu errei essa questão, porque eu sabia que era uma questão difícil Quando vem log, eu já falo "é difícil", porque as pessoas erram, as pessoas têm dificuldade com essa matéria, então as pessoas erram normalmente uma questão que tem um log Então eu pulei e deixei pra depois e depois não sobrou muito tempo pra resolver, não sabia resolver, chutei Eu acertei outras questões por ter pulado essa, mas vou colocar aqui a resolução que eu fiz dessa questão Ele disse que tem um empréstimo que cada parcela é fixa de 820 reais, mas se você antecipar parcelas futuras, você consegue um desconto nessas parcelas, e ele te deu a fórmula: V é o valor futuro da parcela, que vai ser sempre 820, porque, como a gente falou, a parcela é fixa de 820, e P é o valor presente que você consegue ter se você antecipar n meses

Uma pessoa vai pagar a 30ª parcela, a parcela número 30, com uma outra futura, mas que ele quer desconto naquela parcela futura que ele vai pagar, ele quer um desconto maior do que 25% A primeira coisa que eu fiz foi manipular a fórmula para conseguir deixar tudo de um lado só da igualdade, e deixar o P sozinho, então foi isso que eu fiz: P = V/(1+i)ˆn Eu sei que o V vale 820, que é o valor fixo da parcela para sempre no futuro, e i é 0,0132 (cuidado porque tá por cento: não é 1,32, é 0,0132, é dividido por 100) e esse é o valor presente daquela parcela adiantada n meses Agora, como você vai saber quantos meses vai ter que ter pra você conseguir o desconto? Ele quer que esse valor P presente dê um desconto maior que 25% no valor original de 820, então se ele quer um desconto de mais de 25%, ele quer que o valor seja menor do que 75% de 820 Só que, em vez de fazer por inequação, eu prefiro fazer por equação normal, colocar = porque confunde menos a sua cabeça e depois você aproximar para o que você precisa, para mais ou para menos E aí você ficou com essa equação, você resolve, fica lá com 4/3 = (1,0132)ˆn, e aí você vai pôr ln dos dois lados, porque ele te deu ln de 4/3 e ln de 1,0132, então você sabe que você tem que usar ln, você coloca dos dois lados e vai conseguir substituir, e depois de substituir, você vai encontrar o valor de n que é aproximadamente 21,96

Mas ele quer um desconto maior do que 25%, então vai precisar de mais tempo Em vez desse valor quebrado, você vai ter que aproximar pra cima, arredondando para um número inteiro maior, que vai ser 22 E se ele está pagando a 30ª parcela, que é a parcela 30, ele vai pagar junto com aquela de 22 meses à frente, que é a número 52, alternativa C A questão 148 envolvia um jogo em que os alunos tinham que dar ou uma equação de reta ou uma equação de circunferência, que passasse pela origem e por pontos dados no plano cartesiano: quanto mais pontos diferentes da origem eles atingissem com a reta ou com a circunferência deles, mais pontos eles ganhavam para o jogo E agora ele pergunta qual é a equação que vai dar mais pontos para o aluno

O que eu fiz foi testar por alternativa, então vamos lá A alternativa A, de x = 0, isso não é nem uma equação de reta, não tem y ali, não tem como você montar um gráfico com isso A alternativa B diz y = 0, a equação da reta y = 0 dá uma reta constante, que, em todos os valores de x, y é 0, então quer dizer que vai passar pelo C (y = 0, x = 4), vai ganhar então 1 ponto essa equação As alternativas C, D e E são equações de circunferência, e para isso a gente vai ter que lembrar como é uma questão de circunferência reduzida, principalmente Numa equação reduzida de circunferência, você tem que lembrar que os valores do centro da circunferência são dados e o raio é dado ali no meio, estão escondidos

Então quer dizer que: o valor de x ao quadrado, vai estar (x – a) ao quadrado – esse a é o valor x do centro de circunferência -, e no y ao quadrado vai estar (y – b) ao quadrado – esse b é o valor y do centro da circunferência E, depois do = da equação, vai ter um valor que é o r ao quadrado Vem comigo, um por um Na C, x ao quadrado e y ao quadrado: quer dizer que não tem nada subtraindo nem do x, nem do y – o a e o b são 0, então quer dizer que o centro da circunferência é (0,0), o centro da circunferência é a própria origem do plano cartesiano E qual é o raio? É a raiz de 16, porque 16 é r ao quadrado, então o raio é a raiz de 16, é 4

Agora vai lá: se o centro da circunferência tá aqui na origem, e o raio da circunferência é 4, quer dizer que a circunferência vai passar pelo C e vai passar pelo A, então vai ganhar 2 pontos cada, vão ganhar quatro pontos A alternativa D, o centro da circunferência vai estar no ponto (x = 0, y = 2), no ponto E, e o raio da circunferência vai ser a raiz de 4, vai ser 2 Então montando a circunferência, vai ser: centro no E, raio 2, vai passar pela origem (mas não ganha ponto), vai passar pelo D e vai passar pelo A Então quer dizer que vai ganhar 2 pontos em cada ponto que passou, 4 pontos E a alternativa E, ela é mais complicada

Ela tem o centro (2,2) – porque o x está subtraído de 2 e o y está subtraído de 2, então o centro da circunferência é esse ponto D aqui, e o raio da circunferência vai ser a raiz de 8 Raíz de 8 é raíz de 4 2, então é 2 raiz de 2 Como você vai saber aonde tem raio 2 raíz de 2? Qual essa medida, já que tem raíz? Pega esse quadrado que tem aqui embaixo do centro de conferência, embaixo do D, ele tem lado 2 (arestas 2) Qual é a diagonal de um quadrado? É a aresta raiz de 2, então quer dizer que essa diagonal do quadrado aqui vale 2 raiz de 2, então dizer que esse é o raio da circunferência, a diagonal de um quadrado 2

E então quer dizer que essa circunferência vai passar por C, B, A e a origem, vai passar por três pontos diferentes da origem, vai dar 6 pontos, alternativa E A questão 149 pede o menor caminho pra ir de B até A, passando ou por semirretas ou por arcos de circunferência, só que eu por exemplo não sabia qual ia ser o menor caminho, eu não sabia se ia ser menor fazer: duas semirretas, um arco tal, outro tantas semirretas, eu não sabia exatamente isso, então o que eu fiz foi testar por alternativa também, que nem a última questão Primeiro, eu vi se todas as alternativas seriam válidas, se todas são um caminho coerente e que poderia ser possível de se realizar para essa questão A alternativa A representa o caminho que você faz 3 semirretas, arco de circunferência raio 1, e 5 semirretas até o A A alternativa B representa um caminho de duas semirretas, um arco de circunferência raio 2, e depois 4 semirretas até o A, e assim por diante, todas representam um caminho possível nesse sentido, diminuindo o número de semirretas e aumentando o raio da circunferência

Então quer dizer que todos são caminhos possíveis – agora qual é o menor? Você só vai descobrir qual é o menor se você substituir pi pelo valor que ele te deu Ele disse que pi vai ser aproximado para uma casa decimal, então vai ser 3,1, eu substituí pi por 3,1 em cada alternativa, e descobri que o menor caminho seria o caminho A A questão 150 se trata de cinco diferentes caixas, que são formatos de paralelepípedo, em que vão ser colocados cilindros, e ele deu as medidas das caixas e a medida de um cilindro Você tem que descobrir qual é a caixa que vai caber mais cilindros O que eu fiz foi analisar por dimensão, ou seja, o cumprimento da caixa vai representar quantos cilindros cabem na horizontal, cabem pelos diâmetros

Então por exemplo vamos pegar a caixa 1, se ela tem comprimento 8 cm, quer dizer que vão caber 2 cilindros na horizontal Eu basicamente dividi o cumprimento pelo diâmetro A largura também é de 8 cm, então quer dizer que na largura da caixa também vão caber 2 cilindros, então na base vão caber 2 e 2, vão saber quatro cilindros na base (or isso que eu pus esse = 4) E na altura, são 40 cm de altura, dividido por 6 (que é a altura de um cilindro) vai dar, inteiros, 6 cilindros 4 cilindros na base vezes 6, porque vão ser 6 níveis dentro daquela caixa: 24 cilindros na caixa 1, e assim por diante

Eu fui dividindo o comprimento e a largura pelo diâmetro do cilindro, que era 4, e dividindo a altura da caixa pela altura do cilindro, que era 6 E aí depois vendo quantos cilindros no total iam caber, porque você descobre quantos cabem na base da caixa e depois quantos cabem na altura da caixa Depois de fazer tudo isso, eu descobri que a caixa 4 era a que cabia mais cilindros cilindros, cabiam 30 cilindros, coloquei alternativa D A questão 151 era uma questão de PA, ele disse que a prefeitura quer colocar postes de iluminação partindo de uma praça O primeiro poste vai estar a 80 m da praça e o último poste vai estar a 1380 m da praça, e vão ser colocados de 20 em 20 m, então vai estar o primeiro a 80 m da praça, depois a 100 m da praça, 120 m, e assim por diante

Isso é uma PA, em que o primeiro termo é 80, o último termo é 1380, e o r é 20 O que ele quer é saber qual vai ser o custo de fazer tudo isso, sendo que cada poste vai custar 8 mil reais no máximo Para você saber o custo total você tem que saber o número de postes que foram colocados, e isso você descobre pela fórmula do termo geral da PA, a fórmula do termo geral da PA pede: o a1 (o primeiro termo), o an (o último termo), o r e o número de termo Você tem três dessas informações, você quer a quarta: é só substituir na fórmula do termo geral, e foi isso que eu fiz: logo de cara descobrir que o n era 66 Sabendo que vão ser colocados 66 postes e cada um vai custar no máximo 8 mil reais, multiplica 8 mil por 66 vai dar 528 mil reais, alternativa C

A questão 152, gente, eu espero que vocês tenham acertado, porque era uma questão fácil, bem fácil mesmo, assim, não exigia quase nada de conta Se você ver pelo meu raciocínio, tem 1 linha de conta O que acontece: ele de um gráfico e ele diz que a variação de 2013 e 2015 foi linear, ele quer o dado de 2014 O que você pode ver? De 2013 até 2015 diminuiu 8%, se isso foi constante com o tempo, até 2014, que a metade de todo o tempo, vai ter diminuído 4%, então se era 67% em 2013, em 2014 vai ser 63%, alternativa B, 63% E por último, a questão 153 ela falava de escala

Você tem um barco com um guindaste de 15 m de altura e uma esteira de 90 m de comprimento e você quer fazer uma representação menor desse barco com uma escala Ele quer saber qual vai ser essa escala Primeiro vamos pensar na esteira: a esteira, que é de 90 m, tem que ser representada em mais de 4 cm, então eu fiz uma regra de três Primeiro, 4 cm está para 9000 cm, e 1 cm está para x Lembra que a escala é sempre você pegar 1 cm da representação para quantos cm vão ser na vida real, e então descobri que esse valor seria 2

250, só que eu não fiquei tão confiante para saber se ia tem que ser menor do que 2250 ou maior do que o 2250, então eu fiz um teste Eu gosto de fazer esses testes para confirmar: ele pediu que o valor fosse maior do que 4 cm, então eu pensei "Quanto que vai ser a escala se eu fizer um valor maior de 4 cm? Se eu fizer um valor como 5 cm?" Então eu fiz uma regra de três: essa escala de 1800, então quer dizer que ia ter que ser um valor menor do que 2250, para dar a escala que ele pediu Assim eu fui testar a outra informação que ele deu, que o guindaste tem que estar entre 0,5 cm e 1 cm na representação Pegando o valor máximo que ele deu pra esse guindaste, que é 1 cm de altura, a escala é fácil: 1 cm na representação para 1500 cm na vida real

Essa é a escala máxima, só que aí também eu queria perceber se ia ter que ser um valor maior ou menor do que 1500 pra abaixar a representação, já que eu quero que o guindaste tenha menos que 1 cm, até chegar em 0,5 Então tentei aumentar a escala, eu tentei colocar 1 cm pra 1600 cm, e x cm para 1500 cm, pra ver quanto daria para 1500, se você aumentasse a escala, aumentasse esse número E aí, fazendo a conta, deu 0,75, então quer dizer que sim, se você aumentar a escala de 1500, vai dar um número menor do que 1 cm, então isso quer dizer que o valor x que é o valor na vida real para 1 cm na representação, vai ter que ser maior do que 1500 (para atender os critérios do guindaste) e menor do que 2250 (para atender os critérios da esteira) Alternativa C Bom gente, eu fico aqui por hoje, essa foi a segunda parte da nossa sequência de vídeos resolvendo matemática do Enem 2018

Eu espero que vocês tenham gostado Se vocês gostaram, deixa o like aqui; se não gostou, deixa o deslike também, para saber que foi ruim Se vocês não entenderam alguma questão, ficou uma dúvida, comenta aqui que eu posso tentar ir respondendo E até a parte 3! Até lá! Obrigado!

trabalho matematica 2 Caue e Pedro

FALA TIME DE BOA! Eu e o Cauê, a gente vai fazer uma questão aqui que foi proposta em um dos nossos simulados e vamos ler agora o enunciado dela UPE-SSA: um sólido foi construído removendo-se se um cubo menor de um cubo maior como mostra a figura a seguir, se a diferença entre as medidas das arestas dos cubos é de quatro centímetros e a medida do volume do sólido é de 208 centímetros cúbicos qual a medida da área lateral da superfície de um solido? OK, com isso podemos perceber que as informações as informações importantes são a aresta do cubo menor é igual à X, e a do cubo maior é igual à X+ 4 e também que o volume de um cubo é igual a aresta ao cubo ou seja fazemos X + 4 ao cubo – X ao cubo igual a 208 centímetros quadrados; para saber quanto que é a aresta, na verdade é para saber quanto o X ,ou seja X + 4, mais quatro vezes X, mais quatro vezes X + 4 – X ao cubo é igual 208 centímetros cúbicos fazendo e distributiva desses 2 (X+ 4) temos X ao quadrado mais 4 x mais 4X + 16, como a gente sabe que 4X + 4X vamos simplificar e colocar direto 8x, 8x + 16 é o resultado desses dois( X+4), resultado da distributiva vezes (X+4), – x ao cubo, igual a 208 centímetros cúbicos vamos fazer agora a distributiva desses dessa expressao aqui, com (X+4) ou seja temos X ao cubo mais 4x quadrado mais 8x quadrado mais 32x mas 16x mais 64 – x ao cubo é igual ao 208 centímetros cúbicos ou seja simplificando cortamos os X ao cubo fazemos 12X ao quadrado mais 48 x – 144 porque já passamos o 208 pra cá ele ficou menos isso é igual a zero vemos que todos esses são múltiplos de 12 ou seja simplificamos, apos simplificar por 12 ficaria X ao quadrado mais 4 x -12 igual a zero ou seja o A é igual a um, B é igual a quatro e os C igual a menos 12 fazendo o delta normalmente né seria 16 menos quatro vezes, vezes menos 12, seria 16 mais 48 que é igual a 64 nosso delta 64, partindo para a parte de baixo seria menos quatro mais ou menos oito sobre dois, tendo os resultados 4 sobre dois e qual a 2 e (- 4 – 8) = – 12 sobre dois é igual ao menos seis como a gente sabe que menos seis não dá pra ser uma das medidas porque o número negativo ou seja descartamos essa possibilidade temos que então o X vai ser igual a 2 ou seja aresta do cubo maior será 2 + 4 que é = 6 e com isso já sabemos como vai ser pra gente calcular a área lateral né a área lateral então será quatro vezes a aresta ao quadrado

Tabuada do 2. Matemática infantil. Tabuada do dois

Tabuada duas vezes um igual a dois duas vezes dois igual a quatro duas vezes três igual a seis duas vezes quatro igual a oito duas vezes cinco igual a dez duas vezes seis igual a doze duas vezes sete igual a quatorze duas vezes oito igual a dezesseis duas vezes nove igual a dezenove dois vezes dez igual a vinte 2 x 1 = 2 2 x 2 = 4 2 x 3 = 6 2 x 4 = 8 2 x 5 = 10 2 x 6 = 12 2 x 7 = 14 2 x 8 = 16 2 x 9 = 18 2 x 10 = 20 Tabuada do dois, tabuada do 2