Radicali (1ª Parte). Esercizi Svolti di Matematica per le Superiori.

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Bem, vamos lembrar de alguma teoria que é fundamental para enfrentar exercícios e problemas Nesta lição, que é o primeiro parte dos radicais, vamos ver vários exemplos de como trabalhamos precisamente com os radicais e vamos aplicar regras e propriedades Aqui, terceira raiz de 5 ao sétimo é um exemplo de radical Agora, o que está sob o teto, 5 no sétimo, chama-se radicando, praticamente o argumento raiz Este numeretto é chamado de índice de raiz ou índice de raiz, que é um número natural diferente de zero e este é o expoente da radicando

vemos de exemplos numéricos: raiz cúbica de 27 faz três porque 3 elevado a três é 27 e 3 multiplicaram-se três vezes dando o enraizamento Raiz quadrada de 81 é 9 porque 9 al quadrado, que é 9 multiplicado por si mesmo, duas vezes dá 81, a radicando Quinta raiz de 1 atrás 1 porque 1 a 5, que é 1 multiplicado por si mesmo cinco vezes (um por um para 1 5 vezes) dá 1, a radicando Raiz cúbica de -27 faz -3 porque -3 em cubos, depois -3 para -3 a -3, há apenas o radicando, -27 Vamos em frente! Raiz quadrada de -25 não existe porque não há número real multiplicado por si duas vezes me dá -25 Qualquer um número real multiplicado por si mesmo duas vezes sempre dá um número positivo Isso é negativo! Também quarta raiz de -16 não existe pela mesma razão que dissemos aqui, isto é, não existe tal coisa número real que se multiplicou por si mesmo quatro vezes me dá -16

Como se multiplica por si mesmo um número igual de vezes, deve vir necessariamente positivo, mas aqui é negativo Além disso, raiz quinto de -32 faz -2 porque -2 elevado a 5, que é um expoente ímpar, obriga -2 para multiplicar por si cinco vezes, depois -2 por -2 por -2 , 5 vezes, faz -32

Aqui, podemos dizer que a enésima raiz de a não existe se este índice for par e o argumento a for negativo Agora vamos ver esses exemplos numéricos interessantes porque aqui temos raiz cúbico de 27 cubos A raiz cúbica de 27 é três porque 3 é cúbico, 3 em cubos, são 27, mas temos que aumentar essa raiz para 3 Então, 3 a 3 ele faz apenas 27 Aqui, o mesmo: raiz quadrada de 81, tudo ao quadrado

raiz o quadrado de 81 é 9, aqui está Devemos elevar para dois, faz 81 e volta para o enraizamento Aqui, o mesmo: raiz quinto de -32 todos a 5 Raiz quinto de -32 é -2 Se aumentarmos para 5, é -32 e aqui está o enraizamento

Em vez disso, alguém aqui poderia dizer: "ok, raiz quadrada de -9 tudo quadrado é -9 " Oh não! É um erro, porque é a raiz quadrada de -9 não lá! Não existe um número real que seja quadrado dá -9 Então, se não há nenhum número real para colocar aqui, não nós podemos fazer esse poder Vamos para o chamado propriedade invariável dos radicais Antes de continuar, lembro que você pode visitar o nosso blog, o site e nossa página no facebook

Como de costume, encontre os links na descrição abaixo aqui vemos outro exemplo, ou melhor, dois outros exemplos numéricos: aqui temos a quinta raiz de sete ao quadrado nós multiplicamos o índice de raiz 5 e o expoente do radial 2 para o mesmo número 3 diferente de zero e temos um radical equivalente a isso Este valor é idêntico a esse valor Aqui também temos a raiz quadrada de dois para três que multiplicamos este índice de raiz e este expoente da raiz 2 e 3 para o mesmo número 4 diferente de zero e temos raiz de oitava de dois a 12, que é igual a primeiro radical do segundo exemplo aqui fazemos as contas e vem raiz décimo quinto de sete a seis, que é o mesmo que este aqui, mas sim também pode dividir pelo mesmo número com este exemplo, temos a décima quinta raiz de 4 a 6 e temos índice de raiz dividida 15 e expoente da raiz 6 para o mesmo número que é um divisor comum 3 diferente de zero e obtemos um radical equivalente a isso Então, a quinta raiz de 4 para 2 apenas chegar a termos aqui é igual à raiz décimo quinto de 4 a 6

Graças a esta propriedade, pode, portanto, ser simplificado nós simplificamos esse radical e, assim, um radical mais radicais podem ser reduzidos, por exemplo, este primeiro radical e este de acordo com um único índice de raiz que você vê aqui são vários os índices de root Como você reduz esses dois radicais a um único índice de raiz? um índice de raiz comum Nós calculamos o mínimo múltiplo comum de 4 e 3, que é 12, então aplicando a propriedade invariante a cada radical, vista primeiro, o que fazemos? nós multiplicamos este índice e este expoente de torcendo por três para então ter raiz décimo segundo do que de três para 15 O segundo radical nós fazemos o multiplicando por três o índice de raiz por quatro e também o expoente deste enraizamento que é um devemos multiplicá-lo por quatro então temos a décima segunda raiz aqui é de quatro elevado a um por quatro alta um 4 aqui nós reduzimos esses dois radicais para um único índice de raiz o índice de raiz comum é o múltiplo menos comum dos índices de raiz Agora vamos nos perguntar como a multiplicação e a divisão são feitas Radical? aqui, aqui temos exemplos de multiplicação temos raiz cúbica de sete por raiz cúbica de dois que faz raiz cúbica de 7×2 14 raiz quarto de oito para a quarta raiz de três é igual à quarta raiz de 8×3 24 raiz quadrada de dois para raiz quadrada de três é igual a raiz quadrada de dois a três qual será então a regra? o produto entre dois radicais que têm o mesmo índice n é um radical que tem um índice ou similar enraizando o produto do radicandi E se tivermos que multiplicar dois radicais com índices diferentes, por exemplo, suponha que queremos multiplicar raiz cúbica por dois para raiz quinta de quatro Bem, ambos os radicais são reduzidos a um índice e será precisamente o mínimo múltiplo comum de 3 e 5 o mínimo múltiplo comum de 3 e 5 é 15 então temos que multiplicar 3×5 então vamos multiplicar pela propriedade invariante visto antes por cinco nós também vamos multiplicar o expoente deste radicand que é um, em seguida, um para cinco e este índice aqui multiplicamos por 3, temos que multiplicar para três também o expoente de quatro, que é 1, 1 para 3 então nós achamos que esta é a décima quinta raiz de dois aumentada para 5 que multiplica raiz décimo quinto de quatro elevado a 3 aqui temos finalmente dois radicais com o mesmo índice têm um produto, então os dois radicais se fundem em um único radical com o mesmo índice e como um argumento temos o produto dos argumentos, portanto, dois para o quinto para 4 a 3, em seguida, a décima quinta raiz de dois para o quinto 4 escrevemos como 2 para os dois, mas quatro é aumentado para três, em seguida, dois para os dois para o 3, aplicamos um pouco de propriedade nos poderes este é 2 aumentado para 2×3, em seguida, dois subiu para 6 aqui é que multiplica 2 para o quinto este é o produto de dois poderes com o mesma base e reescrever a base e adicionar como um expoente colocamos o soma dos expoentes 5 mais seis, então temos a décima quinta raiz de dois a 11 outro exemplo de multiplicação entre ter radicais este é o múltiplo menos comum dos três índices é 30 então vamos escrever desta maneira porque temos que multiplicar 6 por cinco para ter precisamente o mínimo múltiplo comum como um índice comum de raiz, devemos multiplicar por cinco o expoente do radicand então este 5 nós temos que multiplicar por 6 para ter 30 e depois por 6 vamos também multiplicar este expoente aqui vamos multiplicar isso para ter 30 para 10 e multiplicamos por dez o expoente de quatro, que é um portanto, fazemos as contas e temos a trigésima raiz de dois a 25 para trigésima raiz de três a 12 por trigésimo raiz de quatro a 10 aqui temos o produto de três radicais tendo o mesmo índice de raiz todos os três se fundem em uma única raiz com um índice de raiz igual a 30 e como fazer root o produto de radicandi e aqui podemos parar de dizer podemos parar aqui porque meu objetivo era mostrar-lhe como multiplicar três radicais com diferentes índices de raízes vemos agora alguns exemplo de divisão temos raiz quinta de 15 raiz dividida quinta de três, que é igual à quinta raiz de 15 dividido por três, então temos a terceira raiz de dois dividido terceira raiz de sete que é igual a terceira raiz de dois fratto 7 de dois dividido sete qual será a regra? o quociente entre dois radicais que tem o mesmo índice n é um radical que tem um índice ou similar enraizando o quociente do radicandi e se temos que dividir dois radicais com índices diferentes? por exemplo, suponha que nós queremos dividir a raiz cúbica de quatro pela raiz de dois nós fazemos esta divisão bem como fizemos para multiplicação ambos os radicais são reduzidos a um único índice qual será o múltiplo menos comum de 3 e 5 o seu múltiplo menos comum é 15, então temos que multiplicar este 3 por 5 aqui e também um o expoente de quatro deve multiplicá-lo por cinco assim ter aqui 15 se também queremos que o segundo radical tenha quinze nós temos que multiplicar como o índice de raiz tem quinze devemos multiplique este 5×3 e, portanto, também este expoente 1, temos que multiplicá-lo por três, então temos a décima quinta raiz de 4 a 5 dividida raiz décimo quinto de dois para três a divisão o quociente que temos dito de dois radicais com o mesmo índice é um radical com esse índice e como enraizando o quociente do radicandi quatro para o quinto dividido dois para o 3 e aqui fazemos contas aplicando as propriedades conhecidas em poderes agora chegou a hora de ver como transmitir um fator de enraizamento do sinal da raiz vamos dar um exemplo, temos quinta raiz de dois para três neste caso desde 3 o expoente da raiz é mais pouco do índice de raiz 5 você não pode trazer nada para fora você não pode trazer algum fator de dentro para fora precisamente porque o expoente da raiz é menor que o índice da raiz outro radical que levamos em consideração é a quinta raiz de dois para o 12 neste caso desde 12 o expoente do radicand é maior do índice de raiz 5 você pode trazer algo fora do sinal de raiz como? a divisão é feita entre o expoente do radicand 12 e o índice de raiz 5 nós fazemos 12 dividido por 5 atrás 2 com o resto de dois aqui está um erro eu tenho que colocar 12 em vez de 7 então apagamos e escrevemos para que o dividendo 12 seja igual ao quociente 2 para o divisor 5 mais o resto, neste ponto, se substituímos, então temos no lugar de 12 nós colocamos 2×5 mais 2, em seguida, aplicando uma das propriedades sobre os poderes então nós podemos escrever esse enraizamento ao invés desse caminho como um produto de duas potências com a mesma base 2 esta primeira potência tem expoente 2×5 e este segundo poder tem como expoente 2 desde que há uma adição aqui deve haver um produto entre os dois poderes este radical pode ser dissolvido no produto de dois radicais para que possa ser ver como a quinta raiz deste primeiro fator multiplicado pela quinta raiz do segundo fator, então este 5 e este 5 ir embora e permanece 2 ao quadrado, então al lugar deste radical permanece 2 por quadrado multiplicado por isso reescrevemos aqui quinta raiz de dois para dois porque nós a reescrevemos? por que dois isso expoente aqui é menor do que o índice de raiz, então temos dois por raiz quadrada quinto de dois para dois fomos capazes de trazer para fora do sinal da raiz um fator do enraizamento que é, portanto, a regra? aqui é se o expoente do radicand m é maior que ou igual ao índice de raiz, em seguida, esta raiz radical nth de a para m é igual a um alla q multiplicado pela raiz nth de a para r em que q é o quociente da divisão m dividido por n e r é o resto desta divisão, então vamos pegar o exemplo acima depois de ter enunciado a regra, desta forma, temos raiz quinta de dois para o 12 o expoente do radicand é maior o igual ao índice de raiz, então eu tenho que fazer a divisão 12 dividido por 5 o quociente vem 2 e o resto também é 2, de acordo com a regra que devemos escreva dois, que é a base da radicando 2 levantada para o quociente quociente é dois o quociente da divisão multiplicada por raiz quinto de dois elevado para o resto da divisão, vemos agora o poder de um radical aqui temos outro exemplo, temos a nona raiz de cinco ao quadrado tudo para o quarto é igual a estender nono de cinco ao quarto 4 agora, em vez de ser aplicado a todo o radical que passou sob para por assim dizer sob o telhado por isso temos a nona raiz de cinco elevado a dois por quatro, em seguida, a nona raiz de 5 a 8 com a regra é que o expoente p referiu-se ao radical passa sob o teto e depois daqui passar sob o telhado e, em seguida, escrever em alta amxp em vez disso, vemos o raiz de uma raiz temos raiz quarta raiz cúbica de sete quadrados multiplicam os índices

de sete ao quadrado então dividimos este índice e esse expoente da raiz por si número diferente de zero para um divisor comum dividir por dois isso é divisível 4×3 é divisível por dois 2 evidentemente sim, por isso simplificar 4 dividindo 4 por 2 permanece 2 dividindo 2 por 2 permanece um e, portanto, temos como índice 2×3 e como um expoente de sete temos, portanto, uma sexta raiz de 7 aqui está a regra: a raiz que resulta da enésima raiz da raiz do emmesima isto é n isto é m então a raiz é a enésima raiz de raiz de emmesima de um p é o mesmo que? na raiz nxm e um em p, em seguida, il raiz que resulta desta enésima raiz de raiz de emmesima tem um índice de raiz que é o produto entre os índices, vamos ver agora como trazer um fator para o sinal de raiz, vemos um exemplo, temos três multiplicando raiz quarta por cinco, se quisermos levar três dentro do quão radical podemos escrever isso? como esse radical tem índice 4 este 3 podemos escrevê-lo como uma quarta raiz de três para quatro porque precisamente este radical simplificaria 4 com 4 para que possamos para escrever 3 equivalentemente podemos escrevê-lo como a quarta raiz de três para o quarto multiplicado por reescrever este radical e ter dois radicais com índice de raiz igual a 4 nós escrevemos este produto como uma única raiz quarta raiz de devemos colocar como enraizamento o produto destes dois Radicandi, em seguida, 3 a quarta multiplicado por 5 aqui é se temos um para enésima raiz de b para para obter o fator aqui é necessário aumentar para ad n, em seguida, para o fim temos a enésima raiz de um em n para b agora vamos ver como fazer as adições e as subtrações radicais que temos neste primeiro exemplo, temos três radicais semelhantes, porque temos raízes em todos os três radicais cúbico de dois raiz cúbica de dois e raiz cúbica de dois recolhe raiz cúbico de dois e como o coeficiente de raiz cúbica de dois, colocamos o soma algébrica dos coeficientes então 7-2 + 11 esta soma algébrica é 16 por isso temos 16 raízes cúbicas de dois como um segundo exemplo, temos este menos -2 vezes raiz de três mais três vezes raiz de cinco mais 3 vezes raiz de 3 aqui considere estes dois radicais similares que têm uma raiz de três e uma raiz de três nós coletamos este radical comum e como coeficiente nós colocamos a soma coeficientes algébricos é -2 + 3 e depois adicionar 3 raiz de cinco agora -2 + 3 é 1 então temos raiz de três mais três raízes de cinco como esses dois radicais não eles são semelhantes, não se somam aqui, concluímos esta primeira parte sobre radicais com esta regra pouco agradável que é facilmente lembrado: as maçãs sim as laranjas são adicionadas com as laranjas, mas as maçãs não são adicionadas juntas com laranjas meninos depois de fazer o segundo vídeo relacionado ao segundo parte dos radicais também vou produzir algo sobre o desempenho de exercícios em radicais um pouco mais substanciais então siga-me se você achou útil esta lição em vídeo Convido-o novamente a se inscrever no meu canal do youtube usando o link que você encontra aqui abaixo na descrição, de modo a ficar atualizado sobre meus novos vídeos que eles virão e eu ficaria muito satisfeito se você, por sua vez, convidasse as pessoas que você sabe se registrar também eu quero convidá-lo a clicar nos links que eu tenho relatado para você na descrição abaixo e navegue por todos os outros recursos que fizemos visite nosso blog o site e a página facebook se você tiver alguma dúvida, por favor não comente hesite em nos deixar seus comentários se você gostou do vídeo e compartilhá-lo clique em eu gosto obrigado